[论文解读] Conformal blocks for Galois covers of algebraic curves

Jiuzu Hong, Shrawan Kumar|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 10

一句话总结

本论文建立了有限群作用于单李代数的代数曲线的伽罗瓦覆叠上扭曲共形块的传播与分解定理。当群稳定一个博雷尔子代数时，证明了扭曲共形块的层是局部自由的，并且 admits 一个平坦射影联络。关键结果通过将扭曲共形块与当水平 $c$ 被 $|\Gamma|$ 整除时，具有奇点的 $\mathscr{G}$-torsor 模堆栈上的广义 theta 函数空间相等，从而证实了帕帕斯-拉波波尔特的猜想。

ABSTRACT

We study the spaces of twisted conformal blocks attached to a $Γ$-curve $Σ$ with marked $Γ$-orbits and an action of $Γ$ on a simple Lie algebra $\mathfrak{g}$, where $Γ$ is a finite group. We prove that if $Γ$ stabilizes a Borel subalgebra of $\mathfrak{g}$, then Propagation Theorem and Factorization Theorem hold. We endow a flat projective connection on the sheaf of twisted conformal blocks attached to a smooth family of pointed $Γ$-curves; in particular, it is locally free. We also prove that the sheaf of twisted conformal blocks on the stable compactification of Hurwitz stack is locally free. Let $\mathscr{G}$ be the parahoric Bruhat-Tits group scheme on the quotient curve $Σ/Γ$ obtained via the $Γ$-invariance of Weil restriction associated to $Σ$ and the simply-connected simple algebraic group $G$ with Lie algebra $\mathfrak{g}$. We prove that the space of twisted conformal blocks can be identified with the space of generalized theta functions on the moduli stack of quasi-parabolic $\mathscr{G}$-torsors on $Σ/Γ$ when the level $c$ is divisible by $|Γ|$ (establishing a conjecture due to Pappas-Rapoport).

研究动机与目标

• 为具有有限群作用于单李代数的代数曲线的伽罗瓦覆叠发展扭曲共形块理论。
• 在群稳定一个博雷尔子代数的条件下，建立扭曲共形块的传播与分解定理。
• 证明在 Hurwitz 堆栈的稳定紧化上的扭曲共形块层是局部自由的。
• 将扭曲共形块与具有奇点的 $\mathscr{G}$-torsor 模堆栈上的线丛的全局截面空间相等。
• 证实帕帕斯与拉波波尔特关于当水平 $c$ 被 $|\Gamma|$ 整除时，扭曲共形块与广义 theta 函数相等的猜想。

提出的方法

• 通过在稳定子子群上对扭曲仿射 Kac-Moody 代数的可积最高权表示的张量积取商来定义扭曲共形块。
• 利用统一化定理，将具有奇点的 $\mathscr{G}$-torsor 模堆栈表示为涉及 $G(\Sigma\setminus\Gamma\cdot q)^\Gamma$ 和旗流形的商堆栈。
• 在统一化空间上，通过下降构造模堆栈上的线丛 $\mathfrak{L}(c;\vec{\lambda})$，作为线丛张量积的下降。
• 应用 Borel-Weil 定理及其 Kac-Moody 推广，将全局截面与群作用下的不变量相等。
• 利用真空传播定理，将扭曲共形协真空空间与表示空间的不变量联系起来。
• 利用在光滑点 $\Gamma$-曲线族上的扭曲共形协真空层的平坦射影联络，建立局部自由性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，扭曲共形块在曲线的伽罗瓦覆叠上满足真空传播？
• RQ2 扭曲共形块层在 Hurwitz 堆栈的稳定紧化上何时是局部自由的？
• RQ3 扭曲共形块在具有奇点的 torsor 模堆栈方面的几何解释是什么？
• RQ4 在什么条件下，扭曲共形块与广义 theta 函数相等？水平 $c$ 的必要条件是什么？
• RQ5 有限群 $\Gamma$ 对李代数 $\mathfrak{g}$ 的作用如何影响扭曲共形块的结构及其分解性质？

主要发现

• 当 $\Gamma$ 稳定 $\mathfrak{g}$ 的一个博雷尔子代数时，扭曲共形块的真空传播成立，允许移除一个权重为平凡的标记点。
• 在相同的博雷尔子代数稳定条件下，建立了扭曲共形块的分解定理。
• 在 Hurwitz 堆栈的稳定紧化上的扭曲共形块层是局部自由的，推广了光滑情形。
• 在光滑点 $\Gamma$-曲线族上的扭曲共形协真空层上存在一个平坦射影联络。
• 当 $|\Gamma|$ 整除水平 $c$ 时，扭曲共形块空间与具有奇点的 $\mathscr{G}$-torsor 模堆栈上线丛的全局截面空间之间存在一个典范同构。
• 帕帕斯与拉波波尔特的猜想得到证实：当 $c$ 满足整除条件时，扭曲共形块与 $\mathscr{G}$-torsor 模堆栈上的广义 theta 函数相等。