[论文解读] Conformal Blocks from Celestial Gluon Amplitudes II: Single-valued Correlators

Wei Fan, Angelos Fotopoulos+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文通过在软影子极限下构造关联函数的单值完成，解决了天体四胶子振幅的单值性与OPE一致性问题。采用Dotsenko-Fateev方法，推导出一个积分表示，使影子变换可逆，从而得到一个在整个复平面上定义、具有正确交叉对称性、OPE和自举性质的完全单值天体振幅。该振幅包含维度为$\Delta = m + i\lambda$，$m \geq 1$，整数自旋，以及来自伴随表示乘积的所有群表示的共形块。

ABSTRACT

In a recent paper, here referred to as part I, we considered the celestial four-gluon amplitude with one gluon represented by the shadow transform of the corresponding primary field operator. This correlator is ill-defined because it contains branch points related to the presence of conformal blocks with complex spin. In this work, we adopt a procedure similar to minimal models and construct a single-valued completion of the shadow correlator, in the limit when the shadow is "soft." By following the approach of Dotsenko and Fateev, we obtain an integral representation of such a single-valued correlator. This allows inverting the shadow transform and constructing a single-valued celestial four-gluon amplitude. This amplitude is drastically different from the original Mellin amplitude. It is defined over the entire complex plane and has correct crossing symmetry, OPE and bootstrap properties. It agrees with all known OPEs of celestial gluon operators. The conformal block spectrum consists of primary fields with dimensions $Δ=m+i λ$, with integer $m\geq 1$ and various, but always integer spin, in all group representations contained in the product of two adjoint representations.

研究动机与目标

• 解决由于复自旋共形块带来的分支点导致天体四胶子振幅定义不清的问题。
• 解决先前影子关联函数中缺失对应于无质量胶子的$\Delta = 1 + i\lambda$共形块的问题。
• 在软影子极限下构造影子关联函数的单值完成，确保在整个复平面上解析。
• 恢复两胶子融合的正确算符乘积展开（OPE）行为，包括与已知OPE系数的一致性。
• 建立一个具有交叉对称性、自举性质和完整共形块谱的完全一致的天体CFT框架。

提出的方法

• 采用Dotsenko-Fateev方法，通过添加一个最小校正函数，类比于最小模型构造，构建影子关联函数的单值完成。
• 利用复平面上的复积分，推导出单值关联函数的积分表示，被积函数包含$|w|$、$|1-w|$和$|w-z|$的幂次，并由全纯与反全纯因子加权。
• 对Mellin-Barnes型积分应用单值投影算符$\mathrm{sv}$，确保所得函数在$z$上为单值且解析。
• 利用积分表示反演影子变换，得到一个在整个复$z$-平面上定义的新天体振幅。
• 对单值关联函数进行共形块分解，揭示出主算符谱具有$\Delta = m + i\lambda$，$m \geq 1$，整数自旋，以及来自两个伴随表示乘积的所有群表示。
• 通过将OPE系数与三胶子振幅和两胶子融合过程中的已知结果匹配，验证了交叉对称性与自举一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何解决影子四胶子关联函数中的单值性与分支点奇点问题，以获得一个单值函数？
• RQ2 为何原始影子振幅中缺失$\Delta = 1 + i\lambda$共形块，如何能一致地恢复它？
• RQ3 能否构造一个保持交叉对称性、OPE与自举性质的单值天体振幅？
• RQ4 所得单值振幅的完整共形块谱是什么？它与规范群的伴随表示结构有何关系？
• RQ5 影子变换的反演如何导致与原始Mellin振幅截然不同的振幅结构？

主要发现

• 通过添加一个单一校正函数（类比于最小模型构造），实现了影子关联函数的单值完成，解决了单值性问题。
• 所得单值关联函数在复平面上具有收敛的积分表示，使影子变换的反演成为可能。
• 反演后的振幅在整个复平面上定义，并表现出正确的交叉对称性、OPE和自举性质。
• 共形块谱包含维度为$\Delta = m + i\lambda$的主算符，其中$m \geq 1$为整数，$\lambda \in \mathbb{R}$，包含所有整数自旋和来自两个伴随表示乘积的所有群表示。
• 该振幅重现了两胶子融合的所有已知OPE系数，包括缺失的$\Delta = 1 + i\lambda$块，确认了与三胶子振幅的一致性。
• 最终的单值天体振幅与原始Mellin振幅有本质不同，其新的解析结构源于多个polylogarithm与多重zeta值的单值投影。