[论文解读] Conformal blocks, fusion rules and the Verlinde formula

Arnaud Beauville|ArXiv.org|May 5, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 126

一句话总结

本文通过结合因子分解规则、融合环形式化和仿射李代数的特征标理论，对与 SU(n) 相关的 WZW 模型中 conformal blocks 空间的维数，给出了 Verlinde 公式的严格推导。它将 Verlinde 公式确立为广义 theta 函数在主丛模空间上的结构的推论，利用显式的特征标计算和有限级 ℓ 权重群上的正交关系。

ABSTRACT

The Verlinde formula computes the dimension of certain vector spaces ("conformal blocks") associated to a Rational Conformal Field Theory. In this paper we show how this can be made rigorous for one particular such theory, the WZW model. Thanks to the results of [B-L], [F] and [T-U-Y], this gives the dimension of the space of global sections of the determinant line bundles (and its multiples) on the moduli space of vector bundles with fixed rank and determinant.

研究动机与目标

• 为与 SU(n) 相关的 WZW 理论中共形块的 Verlinde 公式提供一个自包含的推导。
• 阐明 Verlinde 公式与 G-丛模空间上广义 theta 函数几何之间的关系。
• 通过直接从因子分解规则和融合环结构推导公式，澄清文献中的混淆。
• 将 Verlinde 公式确立为有限级 ℓ 权重群上的特征标理论和正交关系的推论。

提出的方法

• 将共形块空间 $V_C(\vec{P},\vec{\lambda})$ 构造为黎曼曲面 $C$ 上 G-丛模空间上行列式线丛的全局截面。
• 引入融合环 $\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$ 以编码因子分解规则，并通过特征标计算维数。
• 使用 Weyl 特征标公式和 Weyl 群的性质，计算群元素在不可约表示上的迹。
• 在 $L^2(T_\ell)$ 上应用正交关系，以计算 $\sum_{\lambda \in P_\ell} |\operatorname{Tr}_{V_\lambda}(t)|^2$，从而导出 Verlinde 公式。
• 利用同构 $P / (\ell + h^\vee) Q_{lg} \cong T_\ell$，将有限群 $T_\ell$ 的大小用秩、联络指标和格子的指标表示。
• 通过表达式 $\Delta(t) = \prod_{\alpha > 0} (e^\alpha(t) - 1)$ 和 $t \in T^\mathrm{reg}_\ell$ 的正则性条件，推导出最终公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 SU(n) 情况下的因子分解规则推导出共形块维数的 Verlinde 公式？
• RQ2 共形块与主丛模空间上广义 theta 函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 融合环 $\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$ 的特征标如何编码 $V_C(\vec{P},\vec{\lambda})$ 的维数？
• RQ4 有限群 $T_\ell$ 在共形块维数计算中扮演什么角色？
• RQ5 是否可以仅通过有限级 ℓ 权重群上的特征标理论和正交关系推导出 Verlinde 公式？

主要发现

• 共形块维数的 Verlinde 公式被推导为 $|T_\ell|^{g-1} \sum_{t \in T^\mathrm{reg}_\ell} \frac{\operatorname{Tr}_{V_{\vec{\lambda}}}(t)}{\Delta(t)^{g-1}}$，其中 $T_\ell$ 是级 ℓ 权重的有限群。
• $T_\ell$ 的大小由 $|T_\ell| = (\ell + h^\vee)^r f q$ 给出，其中 $r$ 为秩，$f$ 为联络指标，$q$ 为 $Q_{lg}$ 在 $Q$ 中的指标。
• 对于 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ 或 $\mathfrak{sp}(n,\mathbb{C})$，$\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$ 的特征标被显式确定，从而可计算该公式。
• 利用 $L^2(T_\ell)$ 中的正交性，对求和 $\sum_{\lambda \in P_\ell} |\operatorname{Tr}_{V_\lambda}(t)|^2$ 进行计算，得到 $|T_\ell| / \Delta(t)$。
• 通过恒等式 $\Delta(t) = \prod_{\alpha > 0} |2 \sin(\pi (\alpha | \mu + \rho)/(\ell + h^\vee))|^{2-2g}$（其中 $t = \exp(2\pi i (\mu + \rho)/(\ell + h^\vee))$）表明该公式与标准 Verlinde 公式等价。
• 该推导适用于类型 A、B、C、D 或 $G_2$ 的 $\mathfrak{g}$，并依赖于 $\mathfrak{g}$ 为单李代数且 $\ell$ 为正整数的假设。