[论文解读] Conformal blocks in the tensor product of vector representations and localization formulas

Richárd Rimányi, Alexander Varchenko|ArXiv.org|Nov 17, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文利用等变局部化方法，给出了在 $σ\mathfrak{sl}_m$ Wess-Zumino-Witten 理论中球面上一级的共形块的显式公式，将其表示为类似于局部化有理函数的多项式。通过取一级块的乘积，构造了任意级别共形块的生成集，并证明了在一般标记点下，这些元素张成共形块空间。

ABSTRACT

Using equivariant localization formulas we give a formula for conformal blocks at level one on the sphere as suitable polynomials. Using this presentation we give a generating set in the space of conformal blocks at any level if the marked points on the sphere are generic.

研究动机与目标

• 通过等变局部化技术，推导出在球面上 $σ\mathfrak{sl}_m$ CFT 中一级共形块的显式公式。
• 建立共形块多项式与等变上同调局部化公式中出现的有理函数之间的联系。
• 通过相乘一级共形块，构造任意级别共形块的生成集。
• 证明所构造的元素在球面上一般标记点下张成共形块空间。
• 在未来工作中，通过对称多项式与施普伦格计算探索共形块的结构。

提出的方法

• 利用等变局部化公式，将一级共形块的一维空间表示为单个多项式，类似于局部化积分。
• 通过 $σ\mathfrak{gl}_m$ 在 $σ\mathbb{C}[y^{(1)},\dots,y^{(m)}]$ 上的作用，将向量表示的张量积表示为空间中的多项式。
• 使用 $σ\boldsymbol{\lambda}$-对称多项式 $h$ 和有理函数分母 $R$，定义一族函数 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$。
• 利用初等对称多项式 $Z_i^{(k)}$ 定义施瓦茨型多项式 $s^{(k)}(\mu)$，作为 $P_{\boldsymbol{z}}[h]$ 构造的输入。
• 通过 [FSV1, FSV2] 中的微分方程验证，所得到的 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ 函数属于共形块空间。
• 将一级公式作为基本构件，通过乘积生成高阶共形块，并对一般 $\boldsymbol{z}$ 证明其线性无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用等变局部化技术，将球面上的一级共形块表示为单个多项式？
• RQ2 一级共形块的精确代数结构是什么？它如何与局部化公式中的有理函数相对应？
• RQ3 如何利用一级共形块生成任意级别共形块的完整空间？
• RQ4 对于哪些对称多项式 $h$，函数 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ 会生成线性无关的共形块？
• RQ5 函数 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ 的张成空间与施普伦格计算或上同调结构之间存在何种关系？

主要发现

• 一级共形块空间是一维的，通过等变局部化显式构造出一个生成多项式，其结构类似于局部化有理函数。
• 当 $m=2$ 时，该公式推广了 [V08] 中已知的结果，扩展到任意 $m$。
• 所构造的函数 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ 在一般标记点 $\boldsymbol{z}$ 下，张成任意级别 $\ell \geq d(\boldsymbol{\lambda})$ 的共形块空间。
• 具体例子表明，$P_{\boldsymbol{z}}[h](4,2)$ 在 $h = s^{(4)}(0), s^{(4)}(1), s^{(4)}(1,1)$ 时线性无关，且属于 $\operatorname{CB}^2_{\boldsymbol{z}}(4,2)$，且额外的 $h$ 可生成 $\operatorname{CB}^3_{\boldsymbol{z}}(4,2)$。
• $\operatorname{CB}^2_{\boldsymbol{z}}(4,2)$ 的维数为 4，$\operatorname{CB}^3_{\boldsymbol{z}}(4,2)$ 的维数为 8，所构造的 $P_{\boldsymbol{z}}[h]$ 函数并未完全张成这些空间，表明仍需进一步研究。
• 该构造暗示了共形场论与等变上同调之间存在深刻联系，为两门学科的相互推进提供了可能。