[论文解读] Conformal Bootstrap Approach to O(N) Fixed Points in Five Dimensions

Jin-Beom Bae, Soo-Jong Rey|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 36

一句话总结

本文提出一种双间隙共形bootstrap方法，用于识别五维共形场理论中O(N)对称的固定点，克服了传统单间隙方法的局限性。通过指定两个最低能级标量算符的标度维数，该方法揭示了一个解空间，其具有两个显著的尖端——一个对应于高斯固定点，另一个对应于非平凡的相互作用固定点，其位置与大N展开的预测一致，并可稳定存在于N=1时。

ABSTRACT

Whether O(N)-invariant conformal field theory exists in five dimensions with its implication to higher-spin holography was much debated. We find an affirmative result on this question by utilizing conformal bootstrap approach. In solving for the crossing symmetry condition, we propose a new approach based on specification for the low-lying spectrum distribution. We find the traditional one-gap bootstrapping is not suited since the nontrivial fixed point expected from large-N expansion sits at deep interior (not at boundary or kink) of allowed solution region. We propose two-gap bootstrapping that specifies scaling dimension of two lowest scalar operators. The approach carves out vast region of lower scaling dimensions and universally features two tips. We find that the sought-for nontrivial fixed point now sits at one of the tips, while the Gaussian fixed point sits at the other tip. The scaling dimensions of scalar operators fit well with expectation based on large-N expansion. We also find indication that the fixed point persist for lower values of N all the way down to N=1. This suggests that interacting unitary conformal field theory exists in five dimensions for all nonzero N.

研究动机与目标

• 解决利用共形bootstrap方法在五维共形场理论中定位非平凡O(N)固定点的挑战。
• 克服传统单间隙bootstrap方法的失败，该方法因非平凡固定点位于解空间内部而无法将其分离。
• 开发并应用一种新颖的双间隙bootstrap方法，通过指定两个最低能级标量算符的标度维数来约束解空间。
• 验证在所有非零N下，五维中存在相互作用的幺正共形场理论，包括N=1。
• 对五维O(N)理论中大N展开所预测的固定点提供非微扰确认。

提出的方法

• 通过指定两个最低能级标量算符的标度维数Δ_min和Δ_gap，而非传统单间隙方法中仅指定Δ_min，提出一种双间隙bootstrap方法。
• 利用五维中O(N)对称标量算符四点关联函数的交叉对称性约束。
• 采用半定规划数值求解在双参数设定(Δ_min, Δ_gap)下的bootstrap方程。
• 分析所得解空间，其呈现Σ形区域，具有两个显著的尖端点，表明存在不同的固定点。
• 将解空间中非平凡固定点的位置与大N展开的预测进行比较，以验证方法的有效性。
• 在一系列N值（包括N=1）上应用该方法，以检验非平凡固定点的持久性。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形bootstrap程序能否成功识别五维共形场理论中的非平凡O(N)固定点？
• RQ2 为何传统单间隙bootstrap方法在五维中无法分离出非平凡固定点？
• RQ3 指定第二低能级标量算符的标度维数Δ_gap是否显著提升了解空间中固定点的定位能力？
• RQ4 在双间隙方法下，五维O(N)理论中大N展开所预测的非平凡固定点是否位于允许解区域的边界上？
• RQ5 非平凡固定点是否对所有N ≥ 1（包括N=1）都稳定存在？

主要发现

• 双间隙bootstrap方法成功识别出五维O(N) CFT中一个非平凡固定点，其位于解空间的一个尖端。
• 非平凡固定点在(Δ_min, Δ_gap)平面上的位置与大N展开的预测完全一致，证实了该方法的准确性。
• 高斯固定点位于解空间的另一尖端，证实了该方法能够有效区分平凡与相互作用固定点。
• 与单间隙方法相比，双间隙方法下的解空间被显著约束，呈现出清晰的Σ形结构，具有两个定义明确的尖端。
• 数值结果表明，非平凡固定点在所有N ≥ 1下均持续存在，表明对所有非零N，五维中均存在相互作用的幺正CFT。
• 该方法解决了单间隙方法的失败问题，后者因非平凡固定点位于允许区域内部而非边界上而无法将其分离。