[论文解读] Conformal changes of generalized complex structures

Izu Vaisman|ArXiv.org|Oct 19, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 9

一句话总结

该论文表征了在局部共形变换后变为可积或广义凯勒的广义殆复与殆赫米特结构，引入李形式 $ω$ 以对这类结构进行分类。它在霍普夫流形和具有广义桑萨基结构的 $M \times S^1$ 上构造了非整体共形的示例，并表明当李形式的拉回为零时，超曲面继承一个具有闭合基本形式的经典CRF-结构。

ABSTRACT

A conformal change of $TM\oplus T^*M$ is a morphism of the form $(X,α)\mapsto(X,e^τα)$ $(X\in TM,α\in T^*M,τ\in C^\infty(M))$. We characterize the generalized almost complex and almost Hermitian structures that are locally conformal to integrable and to generalized Kähler structures, respectively, and give examples of such structures.

研究动机与目标

• 表征在局部共形变换后变为可积广义殆复结构的广义殆复结构。
• 研究在局部共形重标度后变为广义凯勒的广义殆赫米特结构。
• 在紧致流形（如霍普夫流形或 $M \times S^1$）上显式构造局部共形广义复与凯勒结构但非整体共形的示例。
• 分析李形式为零的超曲面上诱导的几何结构（即李超曲面）。

提出的方法

• 通过光滑函数 $\tau$ 对大切丛 $TM \oplus T^*M$ 进行共形变换：$ (X,\alpha) \mapsto (X, e^{\tau}\alpha) $。
• 引入一个闭的1-形式 $\varpi$（即李形式），以表征与可积或广义凯勒结构局部共形等价的条件。
• 在 $T^{big}M$ 上应用Courant括号与广义复结构形式化，使用Nijenhuis张量与可积性条件。
• 采用广义复结构的经典表示法，通过满足特定代数与可积性条件的自伴算子 $\Phi$ 及其分量 $A, \pi, \sigma$。
• 通过李形式的拉回分析超曲面上的诱导结构，并应用先前工作中提出的广义CRF-结构框架。
• 应用音乐同构 $\sharp_G$ 将广义黎曼度量与经典数据 $ (\gamma, \psi) $ 关联，并推导共形重标度下的变换规律。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些广义殆复结构与可积广义复结构局部共形等价？
• RQ2 何种条件可确保广义殆赫米特结构在局部共形变换后变为广义凯勒结构？
• RQ3 能否在紧致流形（如霍普夫流形或 $M \times S^1$）上构造非整体共形的广义凯勒结构？
• RQ4 当李形式的拉回为零时，超曲面的几何结构如何变化？
• RQ5 在局部共形广义凯勒流形中，李超曲面上诱导结构的本质是什么？

主要发现

• 在霍普夫流形和 $M \times S^1$ 上存在局部共形广义复结构，其中 $M$ 为广义桑萨基流形，且这些结构并非整体共形。
• 李形式 $\varpi = -2d\ln||x||$ 表征了从 $\mathbb{R}^{2n} \setminus \{0\}$ 上的广义凯勒结构到霍普夫流形 $\mathcal{H}^{2n}$ 上局部共形结构的共形变换。
• 在李超曲面 $N \subset M$ 上，诱导结构为经典CRF-结构，且 $F$ 的 $\sqrt{-1}$-特征丛构成一个CR-结构。
• 诱导几乎接触结构的基本形式 $\Xi_\pm$ 满足 $\varpi(\nu)\Xi_\pm = \pm i(Z)\iota^*(d\psi \pm d^C\omega_\pm)$，将李形式与超曲面的几何联系起来。
• 李超曲面上的诱导结构满足补充可积性条件 $F \circ (L_Z F) \circ F = 0$，确保其为广义CRF-结构。
• 任何经典凯勒流形的可定向超曲面均继承一个具有闭合基本形式的CRF-结构，且在李条件成立时，该结论可推广至广义情形。