[论文解读] Conformal de Rham Hodge theory and operators generalising the Q-curvature

A. Rod Gover|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文引入了一类在微分形式上定义的共形不变微分算子，其推广了Branson的Q-曲率与临界GJMS算子。通过共形度量与截面微分几何方法，构建了将de Rham复形扩展为椭圆强制、共形不变系统的算子，证明其并非强不变，并通过多项式延拓恢复Q-曲率。

ABSTRACT

We look at several problems in even dimensional conformal geometry based around the de Rham complex. A leading and motivating problem is to find a conformally invariant replacement for the usual de Rham harmonics. An obviously related problem is to find, for each order of differential form bundle, a ``gauge'' operator which completes the exterior derivative to a system which is both elliptically coercive and conformally invariant. Treating these issues involves constructing a family of new operators which, on the one hand, generalise Branson's celebrated Q-curvature and, on the other hand, compose with the exterior derivative and its formal adjoint to give operators on differential forms which generalise the critical conformal power of the Laplacian of Graham-Jenne-Mason-Sparling. We prove here that, like the critical conformal Laplacians, these conformally invariant operators are not strongly invariant. The construction draws heavily on the ambient metric of Fefferman-Graham and its relationship to the conformal tractor connection and exploring this relationship will be a central theme of the lectures.

研究动机与目标

• 构建作用于微分形式上的共形不变微分算子，其推广了临界共形Laplacian与Branson的Q-曲率。
• 解决在偶数维共形几何中寻找de Rham调和函数的共形不变替代物的问题。
• 为每个微分形式丛开发一个既为椭圆强制又为共形不变的规范算子系统。
• 证明所构造的共形不变算子并非强不变，这是其关键结构特性。

提出的方法

• 利用Fefferman-Graham的共形度量，通过截面微分几何方法在加权形式上定义一族算子。
• 在加权截面丛上构造算子$\mathbb{K}_\ell$，其推广了临界共形Laplacian的幂。
• 应用形式伴随算子与外微分算子，定义$L^k_\ell = q^k \mathbb{K}_\ell q_k$，从而在$k$-形式上得到共形不变算子，其权重为$w = \ell - n/2 + k$。
• 通过维度上的多项式延拓，从$L^k_\ell$算子中恢复Q-曲率，推广了Branson原始构造至微分形式。
• 利用分裂算子与截面联络，将共形度量构造与基流形上的标准de Rham复形联系起来。
• 应用联络的共形变换律，验证所构造算子的共形不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在偶数维共形几何中构造出de Rham调和函数的共形不变替代物？
• RQ2 是否存在一组规范算子，可将外微分算子扩展为在每个形式丛上既为椭圆强制又为共形不变的系统？
• RQ3 如何通过统一构造将Branson的Q-曲率推广至微分形式？
• RQ4 新构造的共形不变算子是否为强不变，还是表现出更微妙的不变性结构？
• RQ5 能否通过形式上广义GJMS型算子的多项式延拓恢复Q-曲率？

主要发现

• 所构造的作用于形式之间的共形不变微分算子并非强不变，如命题1.1所证明。
• 通过广义$L^k_\ell$算子的多项式延拓恢复了Q-曲率，将Branson原始构造推广至微分形式。
• 当$k=0$时，$L^0_\ell$在密度上的算子与GJMS算子一致，且当$\ell = n/2$时，得到标准Q-曲率作为$Q_0 1$。
• $L^k_\ell$算子为共形不变，阶数为$2\ell$，作用于权重为$w = \ell - n/2 + k$的$k$-形式，推广了临界共形Laplacian。
• 该构造建立了一致的共形不变算子族，将de Rham复形扩展为椭圆强制系统。
• 共形度量与截面微分几何提供了一个通用框架，可通过维度与黎曼不变量的多项式公式表达这些算子。