[论文解读] Conformal Field Theories as Scaling Limit of Anyonic Chains

Modjtaba Shokrian Zini, Zhenghan Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文提出了一套非相对论性量子理论在低能标度极限下的数学框架，特别将其应用于 anyonic 链，以证明手征性的单位酉有理 conformal field theories (CFTs)，包括 Ising 最小模型 $M(4,3)$，可作为标度极限出现。该研究建立了 Temperley-Lieb 生成元与 Virasoro 生成元之间的精确代数对应关系，并验证了该关系在 Ising 模型中的成立性，同时推测其对所有单位酉最小模型 $M(k+2,k+1)$，$k \geq 3$ 在一个所提出的收敛条件下也成立。

ABSTRACT

We provide a mathematical definition of a low energy scaling limit of a sequence of general non-relativistic quantum theories in any dimension, and apply our formalism to anyonic chains. We formulate Conjecture 4.3 on conditions when a chiral unitary rational (1+1)-conformal field theory would arise as such a limit and verify the conjecture for the Ising minimal model $M(4,3)$ using Ising anyonic chains. Part of the conjecture is a precise relation between Temperley-Lieb generators $\{e_i\}$ and some finite stage operators of the Virasoro generators $\{L_m+L_{-m}\}$ and $\{i(L_m-L_{-m})\}$ for unitary minimal models $M(k+2,k+1)$ in Conjecture 5.5. A similar earlier relation is known as the Koo-Saleur formula in the physics literature [39]. Assuming Conjecture 4.3, most of our main results for the Ising minimal model $M(4,3)$ hold for unitary minimal models $M(k+2,k+1), k\geq 3$ as well. Our approach is inspired by an eventual application to an efficient simulation of conformal field theories by quantum computers, and supported by extensive numerical simulation and physical proofs in the physics literature.

研究动机与目标

• 为一般非相对论性量子理论在任意维度下的低能标度极限提供严格的数学定义。
• 研究 anyonic 链的标度极限是否会出现手征性的单位酉有理 (1+1) 维共形场论。
• 验证一个关于单位酉最小模型中 Temperley-Lieb 代数生成元与 Virasoro 代数生成元之间联系的猜想。
• 为利用量子计算机高效模拟共形场论提供理论基础。
• 从有限 anyonic 链中恢复顶点算子代数和局部共形网中的局部可观测量代数。

提出的方法

• 引入一种用于量子理论低能标度极限的的形式体系，重点在于可观测量在代数意义上的收敛性。
• 将该形式体系应用于 Ising anyonic 链，分析局部可观测量及其代数结构在极限下的行为。
• 建立 Temperley-Lieb 生成元 $\{e_i\}$ 与 Virasoro 代数的有限阶段算子 $\{L_m + L_{-m}\}$ 和 $\{i(L_m - L_{-m})\}$ 之间的精确关系。
• 通过加权和点状顶点算子定义标度极限中的关联函数，其收敛性基于加权函数的分布极限。
• 利用 Wightman 的可观测量和局部共形网，从代数角度刻画连续极限。
• 依赖于数值模拟以及物理文献中的物理证明来支持数学猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，手征性的单位酉有理 (1+1) 维共形场论会作为 anyonic 链的标度极限出现？
• RQ2 是否可以在标度极限中建立 Temperley-Lieb 生成元与 Virasoro 生成元之间的精确代数对应关系？
• RQ3 anyonic 链中的加权关联函数与点状关联函数在标度极限下如何收敛至其连续对应物？
• RQ4 在多大程度上可以从有限 anyonic 链中恢复顶点算子代数和局部共形网中的局部可观测量代数？
• RQ5 在标度极限中，空间与能量上的隐藏局域性起什么作用，它如何支持 CFT 的量子模拟？

主要发现

• 证明了 Ising 最小模型 $M(4,3)$ 作为 Ising anyonic 链的标度极限出现，验证了该情况下的猜想 4.3。
• 建立了 Temperley-Lieb 生成元 $e_i$ 与 Virasoro 生成元 $L_m + L_{-m}$ 和 $i(L_m - L_{-m})$ 之间的精确关系，推广了 Koo-Saleur 公式。
• 在加权函数趋于狄拉克函数分布且具有不相交支集的极限下，严格证明了加权关联函数收敛至点状关联函数。
• 从 anyonic 链的形式体系中恢复了 $M(4,3)$ 的顶点算子代数和局部共形网中的局部可观测量代数。
• 在假设猜想 4.3 成立的前提下，Ising 模型的结果可推广至所有单位酉最小模型 $M(k+2,k+1)$，其中 $k \geq 3$，表明存在一种普遍的 CFT 出现机制。
• 该框架通过利用 anyonic 链构建有限且可计算的模型，支持了最终在量子计算机上模拟共形场论的目标。