[论文解读] Conformal geometry of the supercotangent and spinor bundles

Jean-Philippe Michel|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 49被引用 3

一句话总结

本文建立了一套几何量子化框架，将共形平坦伪黎曼流形上的经典超余切丛与量子旋量丛联系起来。通过在超余切丛上构造局部共形向量场的哈密顿提升，证明了几何量子化产生旋量丛作为量子表示空间，并将科斯曼的旋量李导数识别为该作用的量子化形式。关键贡献在于在符号与微分算子上构造了 conf(M,g)-模结构，共形等变量子化提供了符号模与算子模之间的同构关系。

ABSTRACT

We establish, via geometric quantization of the supercotangent bundle sM of (M,g), a correspondence between its conformal geometry and those of the spinor bundle. In particular, the Kosmann Lie derivative of spinors is obtained by quantization of the comoment map, associated to the new Hamiltonian action of conf(M,g) on sM. We study then the conf(M,g)-module structures induced on the space of differential operators acting on spinor densities and on its spaces of symbols (functions on sM). In the conformally flat case, we classify their conformal invariants, including the conformally odd powers of the Dirac operator.

研究动机与目标

• 建立共形平坦伪黎曼流形 (M,g) 的超余切丛的几何量子化框架。
• 证明对超余切丛的几何量子化产生旋量丛作为量子表示空间。
• 在超余切丛上定义局部共形向量场的哈密顿提升，并将其量子化识别为旋量的科斯曼李导数。
• 在旋量密度上作用的符号与微分算子的空间上构造 conf(M,g)-模结构。
• 将共形等变量子化推广至旋量情形，建立保持主符号的符号模与算子模之间的同构关系。

提出的方法

• 利用偶辛超流形的罗思斯坦表示定理，构造超余切丛 M = T*M ×M ΠTM 上的典范辛形式。
• 对辛超流形 (M, ω) 应用几何量子化，通过极化构造作为旋量丛的量子希尔伯特空间。
• 通过余矩映射将作用提升至超余切丛，定义共形向量场到 M 的哈密顿提升。
• 从余矩映射的量子化推导出 conf(M,g) 在旋量上的量子作用为科斯曼李导数。
• 在符号的滤过空间 Sδ[ξ]、张量型符号 Tδ[ξ] 以及微分算子 Dλ,µ 上构造 conf(M,g)-模结构。
• 证明对于一般权 λ, µ，存在唯一一个共形等变量子化 Qλ,µ: Sδ[ξ] → Dλ,µ，且保持主符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为伪黎曼流形的古典超余切丛赋予一个适合几何量子化的典范辛结构？
• RQ2 局部共形向量场到超余切丛的哈密顿提升是什么？它与旋量的李导数有何关系？
• RQ3 对超余切丛的几何量子化能否重现旋量丛及其协变导数的标准构造？
• RQ4 作用于旋量密度的符号与微分算子的 conf(M,g)-模结构是怎样的？它们通过共形等变量子化如何关联？
• RQ5 在共形平坦情形下，其伴随的滤过模中出现哪些共形不变微分算子？它们与 GJMS 算子和 Q-曲率有何关系？

主要发现

• 对超余切丛 (M, ω) 的几何量子化产生旋量丛作为量子表示空间，建立了经典与量子相空间之间的自然联系。
• 科斯曼旋量李导数自然地作为余矩映射的量子化结果出现，为这一非典范但几何上自然的构造提供了几何实现。
• 作用于旋量密度的微分算子空间与它们的符号空间均携带 conf(M,g)-模结构，且其公共的伴随滤过模同构于 Tδ[ξ]。
• 在共形平坦情形下，对于一般权 λ, µ，共形等变量子化存在且唯一，提供了保持主符号的符号模与算子模之间的同构。
• 共形不变量的分类揭示了两个新的旋量狄拉克算子的奇数次幂，它们在标量情形中无对应物，且依赖于流形 M 的定向。
• 不变量 R ∈ T²ₙ[ξ] 无法提升至 S²ₙ[ξ]，意味着不存在共形等变的超化映射 S²ₙᵀ，表明在旋量情形存在根本性障碍。