[论文解读] Conformal graph directed Markov systems on Carnot groups

Vasileios Chousionis, Jeremy T. Tyson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 53被引用 4

一句话总结

本文在带有次黎曼度量的Carnot群上发展了共形图导向马尔可夫系统（GDMS）的理论，将热力学形式主义推广至非黎曼几何设定。在自然假设下，证明了极限集的Hausdorff维数等于Bowen参数，将经典共形迭代函数系统的结论推广至次黎曼几何领域。

ABSTRACT

We develop a comprehensive theory of conformal graph directed Markov systems in the non-Riemannian setting of Carnot groups equipped with a sub-Riemannian metric. In particular, we develop the thermodynamic formalism and show that, under natural hypotheses, the limit set of an Carnot conformal GDMS has Hausdorff dimension given by Bowen's parameter. We illustrate our results for a variety of examples of both linear and nonlinear iterated function systems and graph directed Markov systems in such sub-Riemannian spaces. These include the Heisenberg continued fractions introduced by Lukyanenko and Vandehey as well as Kleinian and Schottky groups associated to the non-real classical rank one hyperbolic spaces.

研究动机与目标

• 将共形图导向马尔可夫系统理论从黎曼流形推广至Carnot群的非黎曼几何设定。
• 为Carnot群中的次黎曼结构量身定制热力学形式主义。
• 在这一非欧几里得背景下，建立极限集Hausdorff维数的一般公式。
• 将该框架应用于具体例子，包括Heisenberg连分数以及秩一双曲空间中的Kleinian/Schottky群。
• 统一并推广现有关于次黎曼动力系统与丢番图逼近中维数理论的结果。

提出的方法

• 通过与水平分布相容的共形结构，将经典热力学形式主义适配至Carnot群的次黎曼设定。
• 通过转移规则和边界无穷远处的共形压缩，在Carnot群上定义共形GDMS。
• 应用压强函数与平衡态分析极限集的维数。
• 将Bowen参数视为压强函数消失的临界指数。
• 在标准开口集条件与有界膨胀条件之下，建立平衡态的存在性与唯一性。
• 应用变分原理，将极限集的Hausdorff维数与压强函数的零点联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将热力学形式主义扩展至带有次黎曼度量的Carnot群上的共形图导向马尔可夫系统？
• RQ2 在此非黎曼设定下，极限集的Hausdorff维数与压强函数之间存在何种关系？
• RQ3 能否将基于Bowen参数的维数公式，从实双曲空间推广至更一般的Carnot群？
• RQ4 在Carnot群上由非线性迭代函数系统生成的极限集具有何种动力学与几何性质？
• RQ5 经典例子如Heisenberg连分数如何融入这一广义框架？

主要发现

• 在标准假设下，Carnot群上共形GDMS的极限集的Hausdorff维数等于Bowen参数。
• 共形GDMS的热力学形式主义已成功扩展至Carnot群的次黎曼设定。
• 压强函数恰在极限集的Hausdorff维数处消失，推广了经典结果。
• 该框架适用于次黎曼空间中的线性和非线性迭代函数系统。
• Heisenberg连分数以及非实秩一双曲空间（如Kleinian群与Schottky群）等例子均被证明可纳入该理论体系。
• 该结果统一并推广了次黎曼几何与Carnot群上丢番图逼近中维数理论的相关成果。