[论文解读] Conformal Gravity with Dirac Matter

Luca Fabbri|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种与狄拉克物质场耦合的共形引力理论，表明尽管由于无质量旋矢场的存在，迹条件变得平凡，但自旋密度张量的完全反对称性对挠率和曲率施加了严格约束，即使在无挠率的情况下也对度量施加了非平凡限制。该理论的动力学与爱因斯坦引力截然不同，尽管存在挠率，狄拉克方程中仍无非线性自相互作用。

ABSTRACT

Recently, we have constructed the conformal gravity with metric and torsion, finding the gravitational field equations that give the conservation laws and trace condition; in the present paper we apply this theory to the case of the Dirac matter field: we shall see that in this case the trace condition becomes trivial, but further constraints arise, which will impose severe limitations on the dynamics of such a system.

研究动机与目标

• 将共形引力扩展至同时包含度量与挠率，且保持共形不变性。
• 分析狄拉克物质场如何与含挠率的共形引力耦合，重点关注守恒律与迹条件。
• 研究在共形引力背景下，自旋密度张量完全反对称性的含义。
• 确定在含挠率的共形引力中，狄拉克方程是否会出现非线性自相互作用。
• 探索狄拉克场与共形引力耦合后所导致的度量与曲率的结构约束。

提出的方法

• 形式体系采用世界形式中的 tetrad（ vierbein ）与自旋连接，度量相容性确保了 tetrad 与自旋连接的独立性。
• 引入具有非对称连接与卡坦挠率张量 $ Q_{\sigma\rho\alpha} $ 的黎曼-卡坦几何，将其分解为不可约部分：无迹部分、轴矢量部分与迹部分。
• 对度量、挠率与旋矢场应用共形变换，使用共形因子 $ \sigma $，所有场在 $ \sigma $ 下均同态变换。
• 推导出含挠率的弯曲时空中的狄拉克作用量，导出涉及旋矢协变导数 $ \bm{\nabla}_{\mu} $ 的线性狄拉克场方程。
• 利用自旋连接 $ \bm{\Omega}_{\mu} = \frac{1}{2}\omega^{ij}_{\phantom{ij}\mu}\bm{\sigma}_{ij} $ 定义旋矢协变导数，并确保 $ \bm{\gamma}_a $ 矩阵的常数性。
• 通过将曲率与挠率分解为外尔共形张量 $ C_{\mu\alpha\sigma\rho} $ 与里奇-契夫拉导数 $ \bm{\nabla}_{\mu} $ 加上挠率贡献，分析场方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 自旋密度张量的完全反对称性如何约束含狄拉克物质的共形引力的动力学？
• RQ2 共形不变性对度量与挠率耦合的狄拉克场在引力中的作用有何影响？
• RQ3 在含挠率的共形引力中，狄拉克方程是否保留了如爱因斯坦-卡坦理论中的非线性自相互作用？
• RQ4 与非共形引力相比，共形引力中能量与自旋密度的场方程有何不同？
• RQ5 当在含狄拉克场的共形引力中设挠率为零时，度量上还存在哪些残余约束？

主要发现

• 由于狄拉克场的无质量性以及自旋密度张量的完全反对称性，迹条件变得平凡。
• 尽管狄拉克方程中无非线性自相互作用，但对度量与曲率张量仍施加了强约束。
• 自旋密度张量的完全反对称性并未完全转化为挠率的完全反对称性，而是对挠率与曲率均施加了约束。
• 在挠率为零的极限下，只有当曲率张量满足额外的附属条件时，理论才退化为威利共形引力。
• 挠率对曲率的贡献被分解为不可约部分：$ T_{\mu\alpha\sigma} $、轴矢量 $ W^\rho $ 与迹项，所有部分均发生共形变换。
• 狄拉克方程保持线性：$ i\bm{\gamma}^{\mu}\bm{\nabla}_{\mu}\psi - \frac{3}{4}W_{\mu}\bm{\gamma}^{\mu}\bm{\gamma}\psi = 0 $，无任何由挠率引起的非线性项出现。