[论文解读] Conformal invariance of $\CLE_\kappa$ on the Riemann sphere for $\kappa \in (4,8)$

Ewain Gwynne, Jason Miller+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 1

一句话总结

本文证明了当 $\kappa \in (4,8)$ 时，全平面的共形环 ensemble（CLE$_\kappa$）在黎曼球面上关于反演变换 $z \mapsto 1/z$ 是不变的，从而确立了其在全平面设定下的共形不变性。证明依赖于在环面上构造具有指定数量内边界环绕圈的 CLE$_\kappa$，并证明其共形不变性，该性质唯一地刻画了其分布律，进而通过耦合论证推导出反演不变性。

ABSTRACT

The conformal loop ensemble (CLE) is the canonical conformally invariant probability measure on non-crossing loops in a simply connected domain in $\mathbb C$ and is indexed by a parameter $\kappa \in (8/3,8)$. We consider CLE$_\kappa$ on the whole-plane in the regime in which the loops are self-intersecting ($\kappa \in (4,8)$) and show that it is invariant under the inversion map $z \mapsto 1/z$. This shows that whole-plane CLE$_\kappa$ for $\kappa \in (4,8)$ defines a conformally invariant measure on loops on the Riemann sphere. The analogous statement in the regime in which the loops are simple ($\kappa \in (8/3,4]$) was proven by Kemppainen and Werner and together with the present work covers the entire range $\kappa \in (8/3,8)$ for which CLE$_\kappa$ is defined. As an intermediate step in the proof, we show that CLE$_\kappa$ for $\kappa \in (4,8)$ on an annulus, with any specified number of inner-boundary-surrounding loops, is well-defined and conformally invariant.

研究动机与目标

• 确立全平面 CLE$_\kappa$ 在 $\kappa \in (4,8)$ 时关于反演变换 $z \mapsto 1/z$ 的不变性，从而在黎曼球面上定义一个共形不变的圈测度。
• 将已知的 $\kappa \in (8/3,4]$ 范围内 CLE$_\kappa$ 的共形不变性扩展至整个 $\kappa \in (8/3,8)$ 范围，完整刻画 CLE$_\kappa$ 的性质。
• 严格定义并证明当 $\kappa \in (4,8)$ 时，具有固定数量内边界环绕圈的 CLE$_\kappa$ 在环面上的共形不变性，作为关键中间步骤。

提出的方法

• 使用分支 SLE$_\kappa(\kappa - 6)$ 探索树构造全平面 CLE$_\kappa$，这是目前唯一适用于 $\kappa \in (4,8)$ 的方法。
• 在环面上引入 (n,k)-探索过程，以追踪圈的演化及其与内边界和外边界的相互作用。
• 应用 SLE 修饰 CLE 的马尔可夫性质，证明在给定探索路径的一段后，互补区域中 CLE 的条件分布仍为 CLE$_\kappa$。
• 基于 SLE 与 CLE 的绝对连续性及 hitting 引理，使用耦合论证，以正概率匹配重叠区域中 CLE 的局部构型。
• 证明具有固定数量内边界环绕圈的环面 CLE 其唯一性由其马尔可夫性质与共形不变性所决定。
• 利用马尔可夫过程下平稳测度的唯一性，推导出全平面 CLE$_\kappa$ 必须关于反演不变，从而完成黎曼球面上共形不变性的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 全平面 CLE$_\kappa$ 在 $\kappa \in (4,8)$ 时是否关于反演变换 $z \mapsto 1/z$ 不变？
• RQ2 能否严格定义并证明当 $\kappa \in (4,8)$ 时，具有指定数量内边界环绕圈的 CLE$_\kappa$ 在环面上的共形不变性？
• RQ3 环面马尔可夫性质是否唯一刻画了当 $\kappa \in (4,8)$ 时，具有固定内边界圈数的 CLE$_\kappa$ 在环面上的分布律？
• RQ4 能否通过将圆盘与环面设定下的结果外推，建立 $\kappa \in (4,8)$ 时 CLE$_\kappa$ 在黎曼球面上的共形不变性？

主要发现

• 本文证明了当 $\kappa \in (4,8)$ 时，全平面 CLE$_\kappa$ 关于反演变换 $z \mapsto 1/z$ 是不变的，从而确立了其在黎曼球面上的共形不变性。
• 本文严格定义并证明了当 $\kappa \in (4,8)$ 时，具有任意固定数量内边界环绕圈的 CLE$_\kappa$ 在环面上的共形不变性，填补了理论中的关键空白。
• 具有固定数量内边界环绕圈的 CLE$_\kappa$ 在环面上满足环面马尔可夫性质，即在互补区域中 CLE 的条件分布仍为 CLE$_\kappa$。
• 环面马尔可夫过程中唯一的平稳测度被证明是具有指定数量内边界圈的 CLE$_\kappa$ 的分布律，从而表明该构造的唯一性。
• 通过 SLE 与 CLE 的绝对连续性及 hitting 引理的耦合论证，确认了重叠区域中 CLE 的局部构型可正概率匹配，从而支持反演不变性的证明。
• 结合此前针对 $\kappa \in (8/3,4]$ 的结果，本工作完整证明了当 $\kappa \in (8/3,8)$ 时，CLE$_\kappa$ 在黎曼球面上是共形不变的。