[论文解读] Conformal invariance of lattice models

Hugo Duminil‐Copin, Stanislav Smirnov|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 83被引用 39

一句话总结

本文通过离散全纯函数和费米子可观测量，建立了临界平面伊辛模型与FK-伊辛模型的共形不变性。证明了在标度极限下，这些模型中的界面分别收敛到弦道SLE(3)和SLE(16/3)，通过等距图上的离散复分析，为格点模型与共形不变的SLE过程之间建立了严格联系。

ABSTRACT

These lecture notes provide a (almost) self-contained account on conformal invariance of the planar critical Ising and FK-Ising models. They present the theory of discrete holomorphic functions and its applications to planar statistical physics (more precisely to the convergence of fermionic observables). Convergence to SLE is discussed briefly. Many open questions are included.

研究动机与目标

• 通过离散复分析，建立临界平面伊辛模型与FK-伊辛模型的共形不变性。
• 在标度极限下，证明界面收敛到弦道SLE(3)与SLE(16/3)。
• 在等距图上发展离散全纯函数（s-全纯函数）的框架，用于统计力学模型。
• 解决关于普遍性、完整标度极限以及相关模型中离散可观测量的开放问题。

提出的方法

• 本文引入s-全纯函数作为等距图上全纯函数的离散类比，从而实现费米子可观测量的构造。
• 在中点格点上定义一个具有自旋依赖相位因子的参量费米子可观测量，其满足离散版本的柯西-黎曼方程。
• 通过紧致性与子列极限论证分析费米子可观测量的收敛性，进而导出Loewner链表示。
• 通过圆堆积方法在一般等距图上研究该模型，从而在标度极限下实现共形不变性。
• 作者使用Edwards-Sokal耦合将FK-伊辛模型与依赖于簇权重q的环模型联系起来。
• 通过求解权重与自旋参数的线性方程组，识别出具有非平凡标度极限的模型，包括六边形格点上的O(n)模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界FK-伊辛模型的界面是否在标度极限下收敛到弦道SLE(16/3)？
• RQ2 能否通过离散全纯可观测量证明自旋伊辛模型与FK-伊辛模型具有共形不变的标度极限？
• RQ3 在等距图上的广义环模型中，何种权重与自旋参数条件可导致非平凡标度极限？
• RQ4 六边形格点上O(n)模型的标度极限是否由耦合常数为2η/π的库仑气体描述？
• RQ5 为何某些具有η ∈ [−π, 0]的模型尽管具有非平凡可观测量，却无法拥有SLE型标度极限？

主要发现

• 临界FK-伊辛模型的界面在标度极限下收敛到弦道SLE(16/3)，证实了共形场论的一个关键预测。
• 自旋伊辛模型的界面收敛到弦道SLE(3)，首次通过离散可观测量建立了伊辛模型与SLE之间的严格联系。
• 当自旋为σ = 3η/(2π) − 1/2且η满足−n/2 = cos(2η)时，离散柯西-黎曼方程存在非平凡解，从而导致库仑气体标度极限。
• 对于六边形格点上的O(n)模型，当η ∈ [0, π]时，标度极限由耦合常数为2η/π的库仑气体描述。
• 当η ∈ [−π, 0]时，标度极限无法用SLE描述，表明存在一类虽具有离散全纯可观测量但不具SLE型标度极限的模型。
• FK-伊辛模型的费米子可观测量收敛到满足Loewner方程的极限，证实了界面收敛到SLE(16/3)。