[论文解读] Conformal Killing spinors and special geometric structures in Lorentzian geometry - a survey

Helga Baum|ArXiv.org|Feb 1, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用 21

一句话总结

本综述研究了在洛伦兹几何中存在共形 Killing 旋量（即 twistor 旋量）的洛伦兹流形，给出了在维度不超过 6 的情况下此类几何结构的完整局部分类。研究发现，诱导出类光 Killing 向量场的 twistor 旋量，恰好对应于费弗尔曼空间（当里奇曲率正时）或具有平行旋量的布林克曼空间（当里奇曲率消失时），揭示了洛伦兹型下特殊几何结构与共形旋量几何之间深刻的联系。

ABSTRACT

This paper is a survey on special geometric structures that admit conformal Killing spinors based on lectures, given at the ``Workshop on Special Geometric Structures in String Theory'', Bonn, September 2001 and at ESI, Wien, November 2001. We discuss the case of Lorentzian signature and explain which geometries occur up to dimension 6.

研究动机与目标

• 系统地对维度不超过 6 的洛伦兹旋量流形中存在非零 twistor 旋量的情况进行分类。
• 阐明诱导出类光 Killing 向量场的 twistor 旋量的几何作用。
• 建立此类旋量与费弗尔曼空间、爱因斯坦-桑达斯曼流形等典型几何结构之间的对应关系。
• 基于超引力与弦理论中的应用，提供具有特殊 twistor 旋量的洛伦兹流形的全局与局部几何表征。
• 拓展对洛伦兹型下共形不变性与 twistor 算子的理解，该领域理论发展尚不完善，远逊于黎曼几何。

提出的方法

• 利用 twistor 算子 $ P\varphi = \sum_{i=1}^n \sigma^i \otimes \left( \nabla_{s_i}^S \varphi + \frac{1}{n} s_i \cdot D\varphi \right) $，将 twistor 旋量定义为方程 $ P\varphi = 0 $ 的解。
• 应用共形协变性质：在 $ \tilde{g} = e^{2\sigma}g $ 下，有 $ D_{\tilde{g}} = e^{-(n+1)/2 \sigma} D_g e^{(n-1)/2 \sigma} $ 与 $ P_{\tilde{g}} = e^{-\sigma/2} P_g e^{-\sigma/2} $，从而实现共形分类。
• 分析由 twistor 旋量通过 $ V_\varphi = \sum_i \sigma^i \cdot \varphi $ 诱导出的向量场 $ V_\varphi $，其为共形且因果的。
• 研究 $ V_\varphi $ 为类光且 Killing 的情形，通过 $ V_\varphi $ 的里奇曲率实现分类。
• 将费弗尔曼空间构造为严格强伪凸 CR 流形上的 $ S^1 $-丛，其度量为 $ h_\theta = \pi^*L_\theta - i \frac{8}{m+2} \pi^*\theta \circ A_\theta $，并证明其存在两个线性无关的 twistor 旋量，满足 $ \nabla_{V_\varphi}\varphi = i c \varphi $。
• 采用局部标准形与曲率分析，结合 L. Lewandowski (1991)、Lei (2001) 与 Bär 和 Leistner (2002) 的结果，对所有可能的维度 $ n \leq 6 $ 的几何结构进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度不超过 6 的情况下，哪些洛伦兹几何结构允许存在非零 twistor 旋量？
• RQ2 当一个 twistor 旋量诱导出类光 Killing 向量场时，会生成何种几何结构？
• RQ3 诱导向量场 $ V_\varphi $ 的曲率性质如何决定其局部几何？
• RQ4 费弗尔曼空间与满足 $ \nabla_{V_\varphi}\varphi = i c \varphi $ 和 $ V_\varphi \cdot \varphi = 0 $ 的 twistor 旋量之间存在何种精确关系？
• RQ5 所有具有 twistor 旋量的洛伦兹流形是否都能局部共形映射到已知的几何模型？

主要发现

• 在维度 $ n=3 $ 时，任何具有非零 twistor 旋量的洛伦兹流形都局部共形等价于一个 pp-流形。
• 在维度 $ n=4 $ 时，此类流形局部共形等价于 pp-流形或费弗尔曼空间。
• 在维度 $ n=5 $ 时，可能的几何结构包括 pp-流形、洛伦兹型爱因斯坦-桑达斯曼流形，或形式为 $ \mathbb{R} \times (N^4, h) $ 的乘积，其中 $ (N^4, h) $ 为里奇曲率为零的凯勒流形。
• 在维度 $ n=6 $ 时，几何结构包括 pp-流形、费弗尔曼空间、形式为 $ \mathbb{R}^{1,1} \times (N^4, h) $ 的乘积（其中 $ (N^4, h) $ 为里奇曲率为零的凯勒流形），以及具有特殊凯勒旗结构的布林克曼空间。
• 若一个 twistor 旋量诱导出类光 Killing 场 $ V_\varphi $，则 $ \mathrm{Ric}(V_\varphi, V_\varphi) $ 为常数且非负，且当且仅当其局部等距于费弗尔曼空间时为正，当且仅当其局部共形等价于具有平行旋量的布林克曼空间时为零。
• 费弗尔曼空间被表征为唯一具有两个线性无关 twistor 旋量的偶数维洛伦兹流形，满足 $ V_\varphi \cdot \varphi = 0 $，$ \nabla_{V_\varphi}\varphi = i c \varphi $，且 $ V_\varphi $ 为类光 Killing 场。