[论文解读] Conformal mapping for multivariate Cauchy families

Shogo Kato, Peter McCullagh|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究欧氏空间与球面上的多变量柯西分布，证明其在莫比乌斯共形映射下的不变性，并通过立体投影建立两者之间的联系。对于样本量 ≤3 的情况，推导出闭式最大似然估计量，并确定了实莫比乌斯群下的关键封闭性质。

ABSTRACT

We discuss some statistical properties of the multivariate Cauchy families on the Euclidean space and on the sphere. It is seen that the two multivariate Cauchy families are closed under conformal mapping called the M\obius transformation and that, for each Cauchy family, there is a similar induced transformation on the parameter space. Some properties of a marginal distribution of the spherical Cauchy such as certain moments and a closure property associated with the real M\obius group are obtained. It is shown that the two multivariate Cauchy families are connected via stereographic projection. Maximum likelihood estimation for the two Cauchy families is considered; closed-form expressions for the maximum likelihood estimators are available when the sample size is not greater than three, and the unimodality holds for the maximized likelihood functions. A Kent-type extension of the spherical Cauchy arising from an extended M\obius subgroup is briefly considered.

研究动机与目标

• 研究欧氏空间与单位球面上多变量柯西族的统计性质。
• 考察这些族在莫比乌斯变换下的不变性及其诱导的参数变换。
• 通过立体投影建立两组柯西族之间的联系。
• 为小样本量（n ≤ 3）推导闭式最大似然估计量。
• 研究边际分布在实莫比乌斯群下的封闭性质，并提出一种 Kent 型扩展。

提出的方法

• 利用莫比乌斯变换作为共形映射，分析 R^d 和 S^d 上多变量柯西族的不变性。
• 应用立体投影，在 R^d 和 S^d 上的柯西分布之间建立一一对应关系。
• 推导莫比乌斯映射下两组族在参数空间上的诱导变换。
• 采用特征函数与矩生成技术分析边际分布及其矩。
• 为样本量不超过三的情况构造闭式最大似然估计量。
• 提出使用扩展莫比乌斯子群对球面柯西分布进行 Kent 型扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 多变量柯西族在欧氏空间与球面上在莫比乌斯共形映射下如何变换？
• RQ2 在诱导的莫比乌斯变换下，两组柯西族的参数空间之间存在何种关系？
• RQ3 球面柯西族的边际分布在实莫比乌斯群下表现出何种封闭性质？
• RQ4 在何种条件下，多变量柯西族的最大似然估计量可表示为闭式？
• RQ5 能否使用扩展莫比乌斯子群构造球面柯西族的 Kent 型扩展？

主要发现

• R^d 和 S^d 上的多变量柯西族在莫比乌斯变换下保持不变，其统计结构得以保持。
• 通过立体投影在两组族之间建立了双射对应关系。
• 对于样本量不超过三的情况，存在闭式最大似然估计量。
• 最大化后的似然函数为单峰，支持小样本中的可靠推断。
• 球面柯西族的边际分布表现出在实莫比乌斯群下的封闭性质。
• 提出使用扩展莫比乌斯子群对球面柯西族进行 Kent 型扩展，推广其对称性质。