[论文解读] Conformal nets and local field theory

Arthur Bartels, Christopher L. Douglas+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文建立了共形网络、缺陷、扇区及互变子的对称单一路三范畴结构，证明有限共形网络——具体而言，具有有限μ-指标的不可约网络的有限直和——是可对偶的。该分类产生了一个大规模的3维局部拓扑量子场论类，包括与环路群及月亮网相关的理论，通过框架化和稳定框架化场论，应用于纽结与3-流形不变量。

ABSTRACT

We describe a coordinate-free notion of conformal nets as a mathematical model of conformal field theory. We define defects between conformal nets and introduce composition of defects, thereby providing a notion of morphism between conformal field theories. Altogether we characterize the algebraic structure of the collection of conformal nets as a symmetric monoidal tricategory. Dualizable objects of this tricategory correspond to conformal-net-valued 3-dimensional local topological quantum field theories. We prove that the dualizable conformal nets are the finite sums of irreducible nets with finite μ-index. This classification provides a variety of 3-dimensional local field theories, including local field theories associated to central extensions of the loop groups of the special unitary groups.

研究动机与目标

• 为共形场论建立一个无坐标、非手性的数学模型，即共形网络。
• 定义共形网络之间的缺陷及其复合规则，从而形成共形场论之间态射的三范畴结构。
• 对可对偶的共形网络进行分类，并证明其对应于3维局部拓扑量子场论。
• 证明这些场论可从框架化结构提升至稳定框架化结构，从而与弦结构和p1-结构相关联。
• 探讨共形网络与张量范畴之间的联系，特别是通过有限共形网络的表示范畴。

提出的方法

• 引入共形网络的无坐标概念，作为代数量子场论中局部可观测量代数的模型。
• 定义共形网络之间的缺陷及其融合为一种复合运算，构成共形网络的三范畴。
• 构造一个对称单一路三范畴CN，其对象为共形网络，1-态射为缺陷，2-态射为扇区，3-态射为互变子。
• 应用 Hopkins-Lurie 定理，将CN中可对偶的对象识别为生成完全局部3维TQFT的对象。
• 证明可对偶的共形网络恰好是具有有限μ-指标的不可约网络的有限直和。
• 证明取值于CN的框架化局部场论可提升为稳定框架化理论，且与3维中的弦结构兼容。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形场论的集合（包括它们之间的态射及高阶态射）应具有何种正确的代数结构？
• RQ2 哪些共形网络是可对偶的？这对其存在3维局部拓扑量子场论有何含义？
• RQ3 共形网络取值的局部场论如何与现有的3D TQFT形式相联系，特别是涉及环路群的理论？
• RQ4 能否证明有限共形网络的表示范畴是一个可对偶的张量范畴？
• RQ5 这些场论为带有嵌入纽结或曲面的3-流形赋予何种不变量？它们与已知不变量有何关系？

主要发现

• 共形网络、缺陷、扇区及互变子构成一个对称单一路三范畴，为共形场论提供了完整的代数结构。
• 一个共形网络是可对偶的，当且仅当它是具有有限μ-指标的不可约网络的有限直和，其中μ-指标即为表示范畴的维数。
• 每个有限共形网络均生成一个3维局部拓扑量子场论，其不变量由点状数据决定。
• 所有取值于共形网络的框架化局部场论均可提升为稳定框架化理论，且等价于3维中的弦结构理论。
• 任意有限共形网络的表示范畴均为一个可对偶的辫状单一路张量范畴，提示存在一个从CN到张量范畴三范畴的三函子。
• 对于环路群网络 $\mathcal{N}_{G,k}$，其关联的3-流形不变量满足 $F_{\operatorname{Rep}(LG,k)}(M) = |F_{\mathcal{N}_{G,k}}(M)|^2$，将网络取值与张量范畴取值的不变量联系起来。