[论文解读] Conformal theories including conformal gravity as gauge theories on the hypercone

Pär Arvidsson, Robert Marnelius|ArXiv.org|Dec 7, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用 18

一句话总结

本文通过将时空扩展至 d+2 维的共形空间，并在 d+1 维超锥面上线性实现共形群 SO(d,2)，提出了一种显式共形不变的共形场论表述，涵盖共形重力等理论。该方法引入了一种在超锥之外的特殊规范变换下不变的新作用量原理，确保能一致地约化为 d 维物理理论。其主要贡献在于：在两个更高维度中构建了一个坐标不变、几何作用量的共形重力理论，解决了长期存在的规范固定与场方程问题。

ABSTRACT

Conformal theories in a d dimensional spacetime may be expressed as manifestly conformal theories in a d+2 dimensional conformal space as first proposed by Dirac. The reduction to d dimensions goes via the d+1 dimensional hypercone in the conformal space. Here we give a rather extensive expose of such theories. We review and extend the theory of spinning conformal particles. We give a precise and geometrical formulation of manifestly conformal fields for which we give a consistent action principle. The requirement of invariance under special gauge transformations off the hypercone plays a fundamental role here. Maxwell's theory and linear conformal gravity are derived in the conformal space and are treated in detail. Finally, we propose a consistent coordinate invariant action principle in the conformal space and give an action that should correspond to conformal gravity.

研究动机与目标

• 在 d+2 维共形空间中发展一种显式共形协变的场论表述，推广狄拉克原始思想。
• 通过引入在超锥之外的特殊规范变换不变性，解决以往共形场作用量中的不一致性问题。
• 构建一个在 d+2 维中一致、坐标不变的作用量原理，用于共形重力，且能正确约化为 d 维中的线性共形重力。
• 利用齐次性与规范不变性，澄清对称张量场（秩 ≥2）的场方程与约束。
• 将任意自旋的粒子模型推广至任意维度，并通过狄拉克约束量化解析推导其对应的自由场方程。

提出的方法

• 在 d+2 维共形空间中表述共形场论，场坐标位于 d+1 维超锥上，SO(d,2) 在其上线性实现。
• 引入在超锥之外保持作用量不变的特殊规范变换，使超锥可作为规范固定条件。
• 通过要求对这些特殊规范对称性与齐次性条件的不变性，构建精确的作用量原理。
• 对 d+2 维中的粒子模型应用狄拉克约束量化解析，利用振子表示推导自由场方程。
• 通过变分原理从作用量导出场方程，确保共形协变性，并与 d=4 时的已知结果一致。
• 利用 O(N) 代数的振子表示对物理态进行分类，推导出正确场内容与对称性的约束，适用于任意自旋与维度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 d+2 维中构建一个显式共形不变的作用量用于共形重力，以确保其在约化至 d 维时的一致性？
• RQ2 在超锥之外的特殊规范对称性在确保场方程与作用量正确约化中起什么作用？
• RQ3 齐次性与规范不变性如何共同决定秩 ≥2 的对称张量场的正确场方程阶数？
• RQ4 能否为共形场构建一个一致的作用量原理，避免早期方法中的测度投影问题？
• RQ5 从量化的共形粒子模型导出的任意自旋自由张量场在 d 维中的精确结构是什么？

主要发现

• 在 d+2 维共形空间中构建了一个一致、坐标不变的共形重力作用量，对超锥外的特殊规范变换具有不变性。
• 该作用量能正确约化为 d 维中的标准线性共形重力，与已知结果一致。
• 对于秩 ≥2 的对称张量场，场方程的正确阶数由齐次性与规范不变性的相互作用决定，解决了先前的不一致性问题。
• 共形粒子模型的量化解析产生具有正确对称性与约束的自由张量场，包括在 d=4 时自旋-2 的场强为黎曼张量。
• 在 d 维中任意自旋的场内容被导出为完全对称或混合对称张量，具有特定的指标结构，满足无迹性与散度自由条件。
• 该表述提供了一个几何的、规范不变的共形场论框架，其显式作用量与运动方程均源于单一一致的原理。