[论文解读] Conformal transformation on metric measure spaces

Bang-Xian Han|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文在度量测度空间上建立了首个非光滑、内在的共形变换框架，推导出黎曼 Ricci 曲率、Laplacian、Hessian 及微分结构在度量与测度共形变换下的显式公式。关键贡献是经典共形 Ricci 曲率公式的非光滑推广，使得共形扰动下曲率-维数条件得以保持。

ABSTRACT

We study several problems concerning conformal transformation on metric measure spaces, including the Sobolev space, the differential structure and the curvature-dimension condition under conformal transformations. This is the first result about preservation of lower curvature bounds under perturbation, which is new even on Alexandrov spaces.

研究动机与目标

• 为度量测度空间发展一个严格、内在的共形变换理论，将经典的黎曼共形几何推广至非光滑情形。
• 刻画 Sobolev 空间、微分结构及曲率-维数条件在度量与测度共形变换下的变换方式。
• 建立 RCD*(K,N) 与 RCD(K,∞) 曲率-维数条件在共形变换下保持的条件。
• 将经典共形 Ricci 曲率公式 (1.1) 推广至无穷小 Hilbert 空间中的非光滑度量测度空间。
• 证明 Sobolev 到 Lipschitz 性质在共形变换下保持，从而使得 Bakry-Émery 理论可应用于非光滑情形。

提出的方法

• 通过新定义的加权度量 $\mathrm{d}'(x,y) = \inf_\gamma \int_0^1 |\dot\gamma_t| e^{w(\gamma_t)} dt$ 和加权测度 $\mathfrak{m}' = e^v \mathfrak{m}$ 定义度量测度空间上的共形变换，其中 $w,v$ 为有界连续函数。
• 证明 Sobolev 空间 $W^{1,2}(M)$ 与 $W^{1,2}(M')$ 作为集合完全相同，且几乎处处满足 $|\mathrm{D}f|_{M'} = e^{-w} |\mathrm{D}f|_M$ $\mathfrak{m}$-a.e.。
• 利用 carré du champ 算子 $\Gamma$ 推导变换后的 Laplacian：$\mathbf{\Delta}'f = e^{v-2w} (\mathbf{\Delta}f + \Gamma(v-2w,f) \mathfrak{m})$。
• 证明梯度几乎处处满足 $\nabla'f = e^{-2w} \nabla f$ $\mathfrak{m}$-a.e.，且内积满足 $\langle X,Y \rangle_{M'} = e^{2w} \langle X,Y \rangle$ $\mathfrak{m}$-a.e.。
• 推导 Hessian 变换公式：$|\mathrm{Hess}'_f|^2_{\rm HS} = e^{-4w} \big( |\mathrm{Hess}_f|^2_{\rm HS} + 2\Gamma(f)\Gamma(w) + (\dim_{\rm loc}-2)\Gamma(f,w)^2 - 2\Gamma(w,\Gamma(f)) + 2\Gamma(f,w)\mathrm{tr}\,\mathrm{Hess}_f \big)$ $\mathfrak{m}$-a.e.。
• 建立协变导数变换关系：$\nabla'X:^\prime(Y \otimes Z) = \nabla X:(Y \otimes Z) - \langle Y,\nabla w \rangle \langle X,Z \rangle - \langle Z,\nabla w \rangle \langle X,Y \rangle + \langle X,\nabla w \rangle \langle Y,Z \rangle$ $\mathfrak{m}$-a.e.。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在缺乏光滑黎曼结构的情况下，内在地定义度量测度空间上的共形变换？
• RQ2 在非光滑度量测度空间上，度量与测度共形变换下 $N$-Ricci 曲率张量的精确变换规律是什么？
• RQ3 在何种条件下 $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 条件在共形变换下保持不变？
• RQ4 Sobolev 到 Lipschitz 性质（Bakry-Émery 理论的关键）在非光滑情形下是否在共形变换下保持？
• RQ5 非光滑共形 Ricci 曲率公式与黎曼几何中的经典公式 (1.1) 有何关系？

主要发现

• Sobolev 空间 $W^{1,2}(M)$ 与 $W^{1,2}(M')$ 作为集合完全相同，且弱上梯度几乎处处满足 $|\mathrm{D}f|_{M'} = e^{-w} |\mathrm{D}f|_M$ $\mathfrak{m}$-a.e.。
• Laplacian 几乎处处满足 $\mathbf{\Delta}'f = e^{v-2w} (\mathbf{\Delta}f + \Gamma(v-2w,f) \mathfrak{m})$，其中 $f \in \mathrm{D}(\mathbf{\Delta}')$。
• 梯度几乎处处满足 $\nabla'f = e^{-2w} \nabla f$ $\mathfrak{m}$-a.e.，且内积满足 $\langle X,Y \rangle_{M'} = e^{2w} \langle X,Y \rangle$ $\mathfrak{m}$-a.e.。
• Hessian 通过显式公式变换，涉及 $|\mathrm{Hess}'_f|^2_{\rm HS}$ 与 $\mathrm{tr}\,\mathrm{Hess}'_f$，并纳入局部维数与曲率项。
• 推导出非光滑共形 Ricci 曲率公式：$\mathbf{Ricci}^\prime_N(\nabla'f,\nabla'f) = e^{(N-4)w} \big( \mathbf{Ricci}_N(\nabla f,\nabla f) + \cdots \big)$，推广了经典公式 (1.1)。
• $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 条件在共形变换下保持，当且仅当 $K^\prime = \inf_{x \in X} e^{-2w} \big[ K - \Delta w - (N-2)\Gamma(w) - \sup_f \frac{N-2}{\Gamma(f)} (\mathrm{Hess}_w(\nabla f,\nabla f) - \Gamma(w,f)^2) \big]$ 为有限实数。