[论文解读] Conformally Einstein-Maxwell Kähler metrics and structure of the automorphism group

Akito Futaki, Hajime Ono|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文建立了共形爱因斯坦-麦克斯韦凯勒流形的自同构群的约化定理，推广了李赫诺维奇-马茨绍夫定理。通过在唐纳森-富吉基框架下对卡拉比泛函使用Hessian公式，证明了全纯向量场的约化李代数是半单的，将卡拉比关于极值凯勒度量的结构定理推广至共形爱因斯坦-麦克斯韦情形，并给出了CP²在一点上进行Blow-up时的显式例子。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a compact Kähler manifold and $f$ a positive smooth function such that its Hamiltonian vector field $K = J\mathrm{grad}_g f$ for the Kähler form $ω_g$ is a holomorphic Killing vector field. We say that the pair $(g,f)$ is conformally Einstein-Maxwell Kähler metric if the conformal metric $ ilde g = f^{-2}g$ has constant scalar curvature. In this paper we prove a reductiveness result of the reduced Lie algebra of holomorphic vector fields for conformally Einstein-Maxwell Kähler manifolds, extending the Lichnerowicz-Matsushima Theorem for constant scalar curvature Kähler manifolds. More generally we consider extensions of Calabi functional and extremal Kähler metrics, and prove an extension of Calabi's theorem on the structure of the Lie algebra of holomorphic vector fields for extremal Kähler manifolds. The proof uses a Hessian formula for the Calabi functional under the set up of Donaldson-Fujiki picture.

研究动机与目标

• 将关于全纯向量场约化性的李赫诺维奇-马茨绍夫定理推广至共形爱因斯坦-麦克斯韦凯勒流形。
• 将卡拉比关于极值凯勒度量的自伴群结构定理推广至与基灵势相关的f-极值度量情形。
• 在唐纳森-富吉基图像中建立卡拉比泛函的Hessian公式，以实现对共形形变下临界点的分析。
• 在CP²的一点Blow-up及其他复曲面上，提供f-极值凯勒度量的显式构造。
• 通过边界条件与正定性约束导出的系数代数条件，刻画度量Ansatz的解空间。

提出的方法

• 采用唐纳森-富吉基图像来表述卡拉比泛函，并计算在共形形变下标曲率的一阶变分。
• 利用Wang [29] 与第一作者先前工作 [14] 的技术，将方法适配至共形爱因斯坦-麦克斯韦情形，推导出卡拉比泛函的Hessian公式。
• 引入f-极值凯勒度量的概念，作为极值凯勒度量的推广，其中f是基灵向量场的哈密顿函数。
• 采用类似于凯勒-里奇孤立子与Sasaki-爱因斯坦度量的体积最小化变分方法，以识别临界点。
• 通过参数a, b, m求解度量系数(A, B, c, d, e)的代数方程组，构造CP²在一点Blow-up上的显式例子。
• 应用引理4.1验证在区间(a,b)上所得度量函数Ψ(t)的正定性，确保度量定义良好且正定。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形爱因斯坦-麦克斯韦凯勒流形上全纯向量场的约化李代数是否仍为半单，从而推广李赫诺维奇-马茨绍夫定理？
• RQ2 卡拉比关于极值凯勒流形自同构群的结构定理能否推广至f-极值情形？
• RQ3 在共形爱因斯坦-麦克斯韦度量的唐纳森-富吉基框架下，卡拉比泛函的Hessian结构为何？
• RQ4 在CP²的Blow-up上，使f-极值凯勒度量正定的度量系数需满足何种显式条件？
• RQ5 在显式构造中，如何通过分析方法验证共形因子Ψ(t)的正定性与边界行为？

主要发现

• 共形爱因斯坦-麦克斯韦凯勒流形上全纯向量场的约化李代数是半单的，从而推广了李赫诺维奇-马茨绍夫定理。
• 在唐纳森-富吉基设定下，推导出了卡拉比泛函的Hessian公式，使得在共形形变下临界点的分析成为可能。
• 在CP²的一点Blow-up上，构造了f-极值凯勒度量的显式解，其参数由系数A, B, c, d, e以a, b, m表示。
• 当B=0时，解给出A=0，c=−4(m−1)(2m−3)/(b−a)，d=−4(a+b)(m−1)(2m−1)/(b−a)，e=4abm(2m−1)/(b−a)，且Ψ(t)=−2(t−a)(t−b)/(b−a) >0在(a,b)上成立。
• 当a=1, b=2时，系数A, B, c, d, e以m显式表示，且通过引理4.1证明Ψ(t)在(1,2)上为正。
• Ψ(t)在(a,b)上的正定性由条件αδ>0及f′(t)/t至多有两个零点所保证，从而确保无虚假临界点。