[论文解读] Conforming Discrete Gradgrad-Complexes in Three Dimensions

Jun Hu, Yizhou Liang|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2020

Elasticity and Material Modeling参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文构建了三维Gradgrad复形的第一个符合型有限元空间族，确保离散意义下的正合性。通过开发高阶$H^2$-符合元用于标量场、$H(\operatorname{curl})$-符合对称张量场及其相关的散度符合张量空间，实现了对线性化爱因斯坦-比安基系统采用强对称性约束的稳定混合离散化。

ABSTRACT

In this paper, the first family of conforming discrete three dimensional Gradgrad-complexes consisting of finite element spaces is constructed. These discrete complexes are exact in the sense that the range of each discrete map is the kernel space of the succeeding one. These spaces can be used in the mixed form of the linearized Einstein-Bianchi system.

研究动机与目标

• 构建三维空间中首个形成精确离散Gradgrad复形的符合型有限元空间族。
• 实现对线性化爱因斯坦-比安基系统采用强对称性约束的稳定混合有限元离散化。
• 将微分复形理论扩展至三维空间中的有限元方法，实现高正则性与正合性。
• 通过建立严谨且符合的框架，为未来开发更简单、更实用的方法奠定基础。

提出的方法

• 基于Zenisek和Zhang的$C^1$-连续分片多项式，采用九次或更高次的$H^2$-符合有限元。
• 通过在$C^0$-连续对称张量空间中引入泡函数，构造$H(\operatorname{curl})$-符合对称张量有限元。
• 在子单纯形（顶点、边、面）上施加增强正则性，以确保离散复形的正合性。
• 采用强对称性约束下电场的混合变分格式来描述线性化爱因斯坦-比安基系统。
• 通过类似Crank-Nicolson的方法进行时间离散化，推导半离散与全离散格式。
• 通过能量估计与投影误差界证明稳定性与收敛性，包括涉及解的三阶时间导数和$L^2$-范数投影项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个在离散意义下正合的三维Gradgrad复形的符合型有限元离散化？
• RQ2 如何设计$H(\operatorname{curl})$-符合有限元以保持对称张量场的复形结构？
• RQ3 为确保离散复形的正合性，有限元需要满足哪些正则性条件？
• RQ4 此类离散复形能否用于稳定强对称性约束下的线性化爱因斯坦-比安基系统的混合有限元方法？
• RQ5 所得到的全离散格式能达到何种收敛速率？

主要发现

• 本文构建了三维空间中首个符合型离散Gradgrad复形族，构成连续Gradgrad复形的一个精确子复形。
• 离散复形是正合的：每个离散微分算子的像等于下一个算子的核，从而保证了稳定性和相容性。
• 在正则性假设下，方法在能量范数下实现了最优收敛速率，空间误差界为$O(h^k)$，时间误差界为$O(\Delta t^2)$。
• 收敛性分析考虑了投影误差与时间离散化误差，包括解的三阶时间导数项。
• 通过$H(\operatorname{curl})$-符合对称张量有限元，方法实现了对电张量场的强对称性约束。
• 尽管多项式次数高且构造复杂，该方法为未来开发更简单、更实用的方法提供了理论基础。