[论文解读] Congruence between Duke-Imamoglu-Ikeda lifts and non-Duke-Imamoglu-Ikeda lifts

Hidenori Katsurada|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文確立了模形式的Hecke域中素理想的判據，用於描述其誘導Duke-Imamoglu-Ikeda上拉與非上拉Siegel尖點形式之間的同餘關係。結果表明，當且僅當該素理想整除對應模形式的標準L函數與自守L函數之積的特殊值的代數部分的分子時，這種同餘關係才會出現，前提是滿足某些整性條件。

ABSTRACT

Let k and n be positive even integers. For a cuspidal Hecke eigenform g in the Kohnen plus subspace of weight k-n/2+1/2 and level 4, let I(g) be the Duke-Imamoglu-Ikeda lift of g in the space of cusp forms of weight k for Sp(n,Z), and f the primitive form of weight 2k-n for SL(2,Z) corresponding to g under the Shimura correspondence. We then characterize prime ideals giving congruence between I(g) and another cuspidal Hecke eigenform not coming from the Duke-Imamoglu-Ikeda lift in terms of the specilal values of the Hecke L-function and the adjoint L-function of f.

研究动机与目标

• 描述Siegel模形式空間中度n、權k下，Duke-Imamoglu-Ikeda上拉與非上拉Siegel尖點形式之間同餘關係所對應的素理想。
• 將Saito-Kurokawa與Doi-Naganuma上拉情形下的先前同餘結果，推廣至Duke-Imamoglu-Ikeda上拉設定。
• 以對應的模形式的L函數特殊值為基礎，提供此類同餘關係的判據。
• 解決關於Duke-Imamoglu-Ikeda構造中上拉與非上拉之間同餘關係的猜想。
• 透過具體的數論計算，展示Ikeda上拉與非Ikeda上拉之間存在非平凡同餘關係。

提出的方法

• 利用Shimura對應，將Γ₀(4)上權k−n/2+1/2的Kohnen正空間中的Hecke特徵形式g，與SL₂(ℤ)上權2k−n的本質形式f關聯起來。
• 利用標準L函數與標準zeta函數，將Duke-Imamoglu-Ikeda上拉Iₙ(g)構造為Spₙ(ℤ)上權k的Siegel尖點形式。
• 應用Siegel模形式的標準zeta函數理論，將Iₙ(g)的傅里葉係數與f的L函數特殊值關聯起來。
• 利用函數方程與Waldspurger型公式，將L(2m, Iₙ(g), St)的代數部分與L(s, f)及L(s, f, Ad)的特殊值關聯起來。
• 對比值⟨f,f⟩ / (Ω(f,+,𝒜ₚ)Ω(f,−,𝒜ₚ))施加整性條件，以確保素理想𝔓不整除Petersson內積的模。
• 利用Sturm界證明，對於小素數，Hecke特徵值模𝔓的同餘關係可推出f與f′的整體同餘關係，若𝔓整除歸一化內積則導致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 模形式f的Hecke域中，哪些素理想會誘導其Duke-Imamoglu-Ikeda上拉與非上拉Siegel尖點形式之間的同餘關係？
• RQ2 此類同餘素理想如何以f的L函數特殊值來表徵？
• RQ3 當Iₙ(g)與非Ikeda上拉之間存在同餘關係時，其對應的底層模形式f與f′之間的同餘關係在何種條件下成立？
• RQ4 能否透過特殊值計算，具體構造出Ikeda上拉與非Ikeda上拉之間的同餘關係？
• RQ5 比值⟨f,f⟩ / (Ω(f,+,𝒜ₚ)Ω(f,−,𝒜ₚ))的整性在排除虛假同餘關係中扮演何種角色？

主要发现

• 在f的Hecke域中，素理想𝔓整除L(k,f) × ∏_{i=1}^{n/2−1} L(2i+1,f,Ad)的代數部分的分子，當且僅當其誘導Iₙ(g)與非Duke-Imamoglu-Ikeda上拉之間的同餘關係。
• 當n=4且k=18時，素數211在f的Hecke域中分裂，其一個因子整除特殊值乘積的分子，因此為同餘素理想。
• 同餘素理想211（或其共軛）並非相對於另一個Ikeda上拉I₄(g₂)的同餘素理想，確認其非由其他上拉所誘導。
• 因此，同餘素理想211確為相對於由I₄(g)生成的子空間正交補空間的真正同餘素理想，從而證明非平凡同餘關係的存在。
• 該方法成功排除了同餘關係由其他Ikeda上拉所誘導的可能性，因其內積比值為𝔓-整數，與此類上拉的存在性矛盾。
• 該例子確認定理4.7中的判據具有實際有效性，並在度4、權18的Siegel模形式空間中產生非平凡同餘關係。