[论文解读] Congruence properties of depths in some random trees

Svante Janson|ArXiv.org|Sep 21, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文通过广义Pólya瓮模型和生成函数，研究了三类随机树——随机递归树（RRT）、随机二叉搜索树（BST）和条件Galton–Watson树（CGWT）——中顶点深度计数模m的渐近分布。研究揭示了一个相变现象：对于RRT和BST，当且仅当m ≤ 6（RRT）或m ≤ 8（BST）时，深度≡0 mod m的顶点数量渐近服从正态分布，其方差在小m时线性增长，大m时增长快于线性；而CGWT则无此相变，对所有m均保持渐近正态性。

ABSTRACT

Consider a random recusive tree with n vertices. We show that the number of vertices with even depth is asymptotically normal as n tends to infinty. The same is true for the number of vertices of depth divisible by m for m=3, 4 or 5; in all four cases the variance grows linearly. On the other hand, for m at least 7, the number is not asymptotically normal, and the variance grows faster than linear in n. The case m=6 is intermediate: the number is asymptotically normal but the variance is of order n log n. This is a simple and striking example of a type of phase transition that has been observed by other authors in several cases. We prove, and perhaps explain, this non-intuitive behavious using a translation to a generalized Polya urn. Similar results hold for a random binary search tree; now the number of vertices of depth divisible by m is asymptotically normal for m at most 8 but not for m at least 9, and the variance grows linearly in the first case both faster in the second. (There is no intermediate case.) In contrast, we show that for conditioned Galton-Watson trees, including random labelled trees and random binary trees, there is no such phase transition: the number is asymptotically normal for every m.

研究动机与目标

• 分析各种随机树模型中深度同余于j模m的顶点数量的渐近分布。
• 识别该计数渐近正态的条件及其不成立的条件。
• 解释基于m值的分布行为中相变现象的成因。
• 证明对于大m时的非正态性并非方法的副产物，而是极限分布中真实存在的振荡行为。

提出的方法

• 将深度计数问题转化为广义Pólya瓮模型，以分析深度类计数向量的渐近行为。
• 通过瓮的转移矩阵的谱分析，特别是次大特征值的实部，确定相变阈值。
• 应用Cramér–Wold准则和复高斯近似，评估深度类计数的联合渐近正态性。
• 对条件Galton–Watson树，利用生成函数和奇点分析推导极限分布律。
• 通过高阶矩的数值计算，验证在m ≥ 7（RRT）和m ≥ 9（BST）时极限分布中存在真实振荡。
• 在Z_m上使用离散傅里叶变换，对深度分布进行分解，并分析特征函数的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机递归树中，当n → ∞时，深度≡0 mod m的顶点数量在哪些m值下渐近服从正态分布？
• RQ2 深度类计数渐近分布的相变由什么决定？为何在RRT中发生在m=7，BST中发生在m=9？
• RQ3 在RRT和BST中，深度类计数的方差增长速率如何依赖于m？
• RQ4 为何条件Galton–Watson树模型不表现出与RRT和BST相同的相变？
• RQ5 在大m时极限分布中观察到的振荡是归一化过程的副产物，还是分布的真实特征？

主要发现

• 对于随机递归树，深度为偶数的顶点（m=2）渐近服从正态分布，且方差线性增长；该结论对m=3,4,5同样成立。
• 当m ≥ 7时，深度≡0 mod m的顶点数量不再渐近服从正态分布，且方差增长快于线性。
• 当m=6时，分布渐近服从正态分布，但方差以n log n增长，表明处于中间情形。
• 对于随机二叉搜索树，当m ≤ 8时渐近正态性成立且方差线性增长，但当m ≥ 9时方差增长快于线性，渐近正态性不成立。
• 相比之下，对于条件Galton–Watson树，对任意m，深度≡0 mod m的顶点数量均渐近服从正态分布，无相变现象。
• 数值验证确认，在RRT中当m ≥ 7时，极限分布中存在真实振荡；在BST中当m ≥ 9时亦然，排除了归一化副产物的可能性。