[论文解读] Congruence RFRS towers

Ian Agol, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文建立了一套准则，用于判断实或复双曲晶格是否能容纳完全由同余子群构成的RFRS（残余有限有理可解）塔。利用该准则，证明了某些戴尔比奇群PSL₂(𝒪𝒹)（其中d ≢ −1 mod 8且d为无平方因子数）在同余子群上是虚拟纤维化的，并通过PU(2,1)中德利涅–莫斯托夫晶格的同余子群，首次构造出非同构于曲面群与阿贝尔群乘积子群的RFRS凯勒群。

ABSTRACT

We describe a criterion for a real or complex hyperbolic lattice to admit a RFRS tower that consists entirely of congruence subgroups. We use this to show that certain Bianchi groups $\mathrm{PSL}(\mathcal{O}_d)$ are virtually fibered on congruence subgroups, and also exhibit the first examples of RFRS Kähler groups that are not a subgroup of a product of surface groups and abelian groups.

研究动机与目标

• 开发一种准则，用于判断双曲晶格是否能容纳完全由同余子群构成的RFRS塔。
• 证明某些戴尔比奇群PSL₂(𝒪𝒹)（其中d ≢ −1 mod 8且d为无平方因子数）在同余覆盖上是虚拟纤维化的。
• 构造出首个非同构于曲面群与阿贝尔群乘积子群的RFRS凯勒群。
• 将RFRS塔构造方法推广至SO(n,1)和SU(n,1)中算术晶格的同余子群，特别是在数域与p进Bruhat–Tits建筑的背景下。

提出的方法

• 利用戴尔比奇群在O(4,1;ℤ)中具有虚拟嵌入的事实，使得以在该正交群中使用同余子群来构造RFRS塔。
• 应用一种通用构造方法，利用晶格的共轭子群与𝔭进Bruhat–Tits建筑的结构，递归地定义群元素gₙ，使得共轭子群的交集形成一个RFRS塔。
• 通过在𝒢(k)中适当地选择g₁，确保商群Γ / (Γ ∩ g₁Γg₁⁻¹)为初等阿贝尔p群，依赖于H¹(Γ;ℤ)中无p挠的性质。
• 使用Magma中实现的Reidemeister–Schreier算法，计算戴尔比奇群中主同余子群Γ(𝔭)的表示与阿贝尔化。
• 通过显式群表示与模素理想𝔭的约化，分析H¹(Γ(𝔭);ℤ)以检测挠与秩。
• 将RFRS凯勒群构造为PU(2,1)中德利涅–莫斯托夫晶格的同余子群，并证明其非同构于曲面群与阿贝尔群乘积的子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，实或复双曲晶格能容纳完全由同余子群构成的RFRS塔？
• RQ2 戴尔比奇群PSL₂(𝒪𝒹)（其中d ≢ −1 mod 8且d为无平方因子数）是否在同余子群上是虚拟纤维化的？
• RQ3 能否构造出非同构于曲面群与阿贝尔群乘积子群的RFRS凯勒群？
• RQ4 如何系统地将RFRS塔构造方法应用于SO(n,1)和SU(n,1)中算术晶格的同余子群，利用p进Bruhat–Tits建筑？
• RQ5 第一同调群的p挠无性条件在实现RFRS塔的递归构造中起何作用？

主要发现

• 对于d ≢ −1 mod 8且d为无平方因子数的戴尔比奇群PSL₂(𝒪𝒹)，其存在完全由同余子群构成的RFRS塔，意味着其在某个同余覆盖上是虚拟纤维化的。
• 对于K = ℚ(√−1)，在范数为49的主同余子群Γ(𝔭)中，H¹(Γ(𝔭);ℤ)的秩为825，挠大小为7⁶，证实了非平凡的同调结构。
• 对于K = ℚ(√−2)，在范数为67的同余子群中，挠大小为2²⁰⁰·3¹³⁵·239⁶⁶·271⁶⁶·647⁶⁶·727⁶⁸·38011⁶⁶·47917⁶⁸，表明同调中存在极大挠。
• 对于K = ℚ(√−11)，在范数为59的同余子群中，挠大小为2³⁴⁸·3⁴⁰⁸·5⁵⁸·7¹¹⁶·11⁵⁸·17¹²⁰·19⁵⁸·31⁵⁸·59⁵⁸·199⁵⁸·233⁶⁰·5279⁶⁰·20341⁵⁸，显示出同调中广泛存在的挠。
• 首个非同构于曲面群与阿贝尔群乘积子群的RFRS凯勒群，作为PU(2,1)中德利涅–莫斯托夫晶格的同余子群被实现。
• RFRS塔的构造依赖于H¹(Γ;ℤ)中无p挠的性质，且通过𝔭进Bruhat–Tits建筑递归选择群元素，确保了塔的RFRS性质。