[论文解读] Congruences for Wolstenholme primes

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文在模 $p^8$ 和 $p^7$ 下建立了沃尔斯滕霍尔姆素数的二项式系数 ${2p-1 \choose p-1}$ 的高阶同余式，以调和和 $R_i = \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^i}$ 与伯努利数的形式表达。关键贡献是通过同余式 ${2p-1 \choose p-1} \equiv 1 - 2p\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} - 2p^2\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2} \pmod{p^7}$ 对沃尔斯滕霍尔姆素数提出了一种新表征，该同余式蕴含该素数必为沃尔斯滕霍尔姆素数。

ABSTRACT

A prime number $p$ is said to be a Wolstenholme prime if it satisfies the congruence ${2p-1\choose p-1} \equiv 1 \,\,(\bmod{\,\,p^4})$. For such a prime $p$, we establish the expression for ${2p-1\choose p-1}\,\,(\bmod{\,\,p^8})$ given in terms of the sums $R_i:=\sum_{k=1}^{p-1}1/k^i$ ($i=1,2,3,4,5,6)$. Further, the expression in this congruence is reduced in terms of the sums $R_i$ ($i=1,3,4,5$). Using this congruence, we prove that for any Wolstenholme prime, $$ {2p-1\choose p-1}\equiv 1 -2p \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} -2p^2\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\pmod{p^7}. $$ Moreover, using a recent result of the author \cite{Me}, we prove that the above congruence implies that a prime $p$ necessarily must be a Wolstenholme prime. Applying a technique of Helou and Terjanian \cite{HT}, the above congruence is given as the expression involving the Bernoulli numbers.

研究动机与目标

• 推导沃尔斯滕霍尔姆素数下二项式系数 ${2p-1 \choose p-1}$ 模 $p^8$ 的高阶同余式。
• 将这些同余式用调和和 $R_i = \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^i}$（$i=1,2,3,4,5,6$）表示。
• 将表达式简化为仅含 $R_1, R_3, R_4, R_5$，并进一步简化为仅含 $R_1, R_2, R_3, R_5$ 以获得更简洁形式。
• 通过模 $p^7$ 的同余式建立沃尔斯滕霍尔姆素数的新表征，该同余式蕴含素数必满足沃尔斯滕霍尔姆条件。
• 利用库默同余式和先前工作的已知结果，将同余式与伯努利数联系起来。

提出的方法

• 使用至 $i=6$ 的调和和 $R_i$ 的恒等式，推导 ${2p-1 \choose p-1}$ 模 $p^8$ 的一般展开式。
• 应用 $p$ 为沃尔斯滕霍尔姆素数的假设，即 ${2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^4}$，以简化展开式。
• 利用模 $p^k$ 下调和和的已知同余式，以及 $p$ 整除 $B_{p-3}$ 的分子的性质，以约简各项。
• 运用库默同余式，将伯努利数 $B_{p^n - p^{n-1} - s}$ 与低阶伯努利数在模 $p^n$ 下关联。
• 代入 $1/(kp - m)$ 模 $p^4$ 的级数展开，以处理伯努利数表达式中的有理系数。
• 结合先前工作结果，包括作者近期的定理 [Me, 定理 1.1]，建立沃尔斯滕霍尔姆素数的逆向表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 沃尔斯滕霍尔姆素数下，二项式系数 ${2p-1 \choose p-1}$ 能否在模 $p^8$ 下以更精细的形式表达？
• RQ2 同余式 ${2p-1 \choose p-1} \equiv 1 - 2p\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} - 2p^2\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2} \pmod{p^7}$ 是否能唯一表征沃尔斯滕霍尔姆素数？
• RQ3 ${2p-1 \choose p-1}$ 模 $p^7$ 的表达式能否仅用选定的调和和 $R_1, R_3, R_4, R_5$ 重写？
• RQ4 该同余式如何用伯努利数重述？库默同余式在此过程中起什么作用？
• RQ5 是否存在调和和中某些项消失与沃尔斯滕霍尔姆性质之间更深层的结构联系？

主要发现

• 本文推导出沃尔斯滕霍尔姆素数下 ${2p-1 \choose p-1} \pmod{p^8}$ 的完整表达式，以调和和 $R_1$ 至 $R_6$ 表示，明确显示出对 $p^i R_i$（$i=1$ 至 $6$）的依赖。
• 该表达式简化为仅依赖 $R_1, R_3, R_4, R_5$，得到同余式 ${2p-1 \choose p-1} \equiv 1 + \frac{3p}{2}R_1 - \frac{p^2}{4}R_2 + \frac{7p^3}{12}R_3 + \frac{5p^5}{12}R_5 \pmod{p^8}$。
• 将模数降至 $p^7$，本文证明了 ${2p-1 \choose p-1} \equiv 1 - 2pR_1 - 2p^2R_2 \equiv 1 + 2pR_1 + \frac{2p^3}{3}R_3 \pmod{p^7}$。
• 该模 $p^7$ 同余式通过伯努利数重述为 ${2p-1 \choose p-1} \equiv 1 - p^3 B_{p^4 - p^3 - 2} - \frac{3}{2}p^5 B_{p^2 - p - 4} + \frac{3}{10}p^6 B_{p-5} \pmod{p^7}$。
• 进一步展开将同一同余式用低阶伯努利数表示：$-p^3(\frac{8}{3}B_{p-3} - 3B_{2p-4} + \frac{8}{5}B_{3p-5} - \frac{1}{3}B_{4p-6}) - p^4(\frac{8}{9}B_{p-3} - \frac{3}{2}B_{2p-4} + \frac{24}{25}B_{3p-5} - \frac{2}{9}B_{4p-6}) - p^5(\frac{8}{27}B_{p-3} - \frac{3}{4}B_{2p-4} + \frac{72}{125}B_{3p-5} - \frac{4}{27}B_{4p-6} + \frac{12}{5}B_{p-5} - B_{2p-6}) - \frac{2}{25}p^6 B_{p-5} \pmod{p^7}$。
• 本文证明，同余式 ${2p-1 \choose p-1} \equiv 1 - 2pR_1 - 2p^2R_2 \pmod{p^7}$ 蕴含 $p$ 必为沃尔斯滕霍尔姆素数，从而为这一稀有素数类提供了新的必要且充分条件。