[论文解读] Congruences on completely inverse $AG^{**}$-groupoids

Wiesław A. Dudek, Roman S. Gigoń|arXiv (Cornell University)|May 25, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 4被引用 13

一句话总结

本文证明，在完全反演 $AG^{**}$-群oids—即满足 $xx^{-1} = x^{-1}x$ 的 $AG^{**}$-群oids—中，Green 关系 $\mathcal{H}$、$\mathcal{L}$、$\mathcal{R}$、$\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{J}$ 一致成立，且 $\mathcal{H}$ 既是最小的幂等元分离同余，也是最小的幂等元分离同余。该结构被证明是 $AG$-群的幂等元半群，其结果可应用于核与商构造。

ABSTRACT

By a completely inverse $AG^{**}$-groupoid we mean an inverse $AG^{**}$-groupoid $A$ satisfying the identity $xx^{-1}=x^{-1}x$, where $x^{-1}$ denotes a unique element of $A$ such that $x=(xx^{-1})x$ and $x^{-1}=(x^{-1}x)x^{-1}.$ We show that the set of all idempotents of such groupoid forms a semilattice and the Green's relations $\mathcal{H,L, R,D}$ and $\mathcal{J}$ coincide on $A$. The main result of this note says that any completely inverse $AG^{**}$-groupoid meets the famous Lallement's Lemma for regular semigroups. Finally, we show that the Green's relation $\mathcal{H}$ is both the least semilattice congruence and the maximum idempotent-separating congruence on any completely inverse $AG^{**}$-groupoid.

研究动机与目标

• 刻画完全反演 $AG^{**}$-群oids 上的同余关系，该类非结合群oids 满足 $xx^{-1} = x^{-1}x$。
• 将 Lallement 引理推广至该类群oids，从而推广正则半群理论中的结果。
• 证明在这些结构中，Green 关系 $\mathcal{H}$、$\mathcal{L}$、$\mathcal{R}$、$\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{J}$ 一致。
• 证明 $\mathcal{H}$ 既是最小的幂等元半群同余，也是最大的幂等元分离同余。
• 描述商结构 $A/\mathcal{H}$ 同构于幂等元半群 $E_A$。

提出的方法

• 利用中值律 $ab\cdot cd = ac\cdot bd$ 和对称中值恒等式 $ab\cdot cd = db\cdot ca$ 推导 $AG^{**}$-群oids 中的结构性质。
• 证明幂等元集合 $E_A$ 在给定恒等式下构成一个幂等元半群。
• 建立对所有 $a \in A$，有 $aA = Aa = L(a) = R(a) = J(a)$，从而表明 Green 关系相等。
• 证明 $\mathcal{H}$-类是具有唯一幂等元的 $AG$-群，且 $\mathcal{H}$-类与 $E_A$ 之间存在一一对应关系。
• 构造从 $A$ 到 $eA$ 的满同态 $\varphi: A \to eA$，其中 $e \in E_A$ 为零元，表明 $eA$ 是 $AG$-群的核。
• 定义最小的 $AG$-群同余 $\sigma = \{(a,b) : ea = eb\}$，并证明 $A/\sigma \cong \mathcal{H}_e$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lallement 引理是否对完全反演 $AG^{**}$-群oids 成立？
• RQ2 在完全反演 $AG^{**}$-群oids 中，Green 关系 $\mathcal{H}$、$\mathcal{L}$、$\mathcal{R}$、$\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{J}$ 是否一致？
• RQ3 $\mathcal{H}$ 是否是任意完全反演 $AG^{**}$-群oids 上的最小幂等元半群同余？
• RQ4 $\mathcal{H}$ 是否是此类群oids 上的最大幂等元分离同余？
• RQ5 $A/\mathcal{H}$ 的结构是什么？它与幂等元半群之间有何关系？

主要发现

• 在任意完全反演 $AG^{**}$-群oids 中，Green 关系 $\mathcal{H}$、$\mathcal{L}$、$\mathcal{R}$、$\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{J}$ 一致。
• 幂等元集合 $E_A$ 构成一个幂等元半群，且 $A/\mathcal{H} \cong E_A$。
• $\mathcal{H}$ 是 $A$ 上的最小幂等元半群同余，即不存在更小的幂等元半群同余。
• $\mathcal{H}$ 是最大的幂等元分离同余，即不存在更大的同余能分离幂等元。
• 每个 $\mathcal{H}$-类都是一个 $AG$-群，且 $A$ 是以 $E_A$ 为指标集的 $AG$-群的幂等元半群。
• 若 $e \in E_A$ 是零元，则 $\mathcal{H}_e = eA$ 是 $A$ 的 $AG$-群核，且映射 $a \mapsto ea$ 是从 $A$ 到 $\mathcal{H}_e$ 的满同态。