[论文解读] Conjectures about distinction and Asai $L$-functions of generic representations of general linear groups over local fields

Nadir Matringe|ArXiv.org|Nov 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了在 $p$-进域 $K/F$ 的二次扩张下，$GL(n,K)$ 的一般表示的 Rankin-Selberg 类型 Asai $L$-函数与 Langlands 参数的 Asai $L$-函数之间的猜想等价性。受 Cogdell 与 Piatetski-Shapiro 方法的启发，证明该等式成立当且仅当一个关于可区分一般表示分类的猜想（基于其诱导的拟平方可积表示）成立，并在主系表示情形下证明了该结果。

ABSTRACT

Let $K/F$ be a quadratic extension of p-adic fields. The Bernstein-Zelevinsky's classification asserts that generic representations are parabolically induced from quasi-square-integrable representations. We show, following a method developed by Cogdell and Piatetski-Shapiro, that the equality of the Rankin-Selberg type Asai $L$-function of generic representations of $GL(n,K)$ and of the Asai $L$-function of the Langlands parameter, is equivalent to the truth of a conjecture about classification of distinguished generic representations in terms of the inducing quasi-square-integrable representations. As the conjecture is true for principal series representations, this gives the expression of the Asai L-function of such representations.

研究动机与目标

• 建立通过 Rankin-Selberg 积分定义的 Asai $L$-函数与 $GL(n,K)$ 一般表示的 Langlands 参数导出的 Asai $L$-函数之间的精确联系。
• 研究 Asai $L$-函数的解析性质（特别是零点处的极点）与表示论中的“可区分性”（即存在非零 $GL(n,F)$-不变线性泛函）之间的联系。
• 提出并分析一个猜想，该猜想以诱导表示的伽罗瓦共轭与对偶性来刻画可区分的一般表示。
• 在可区分表示分类猜想成立的假设下，证明两个 Asai $L$-函数在不可约主系表示情形下相等。
• 证明两个 Asai $L$-函数相等当且仅当可区分表示分类猜想为真。

提出的方法

• 将 Cogdell 与 Piatetski-Shapiro 用于计算配对 $L$-函数的方法改编至 Asai $L$-函数情形，重点研究表示的可区分性。
• 利用 Bernstein–Zelevinsky 分类法，将一般表示表达为从拟平方可积表示的正规化抛物诱导。
• 应用 Whittaker 模型与归约算子理论，将 Rankin-Selberg 积分的亚纯性质与诱导数据的结构联系起来。
• 利用 Rankin-Selberg 积分的函数方程与亚纯延拓，分析 Asai $L$-函数的极点。
• 利用诱导表示的归纳结构，将 $L$-函数分解为子表示及其伽罗瓦扭量的乘积。
• 应用 [J-P-S] 中的积分公式，将 $GL(r,F)$ 上的积分与 $GL(n,F)$ 上的积分关联，从而通过 Whittaker 泛函比较 $L$-函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$GL(n,K)$ 的一般表示（由拟平方可积表示诱导）是可区分的（即存在非零 $GL(n,F)$-不变线性泛函）？
• RQ2 一个一般表示的 Rankin-Selberg 类型 Asai $L$-函数是否等于其 Langlands 参数的 Asai $L$-函数？
• RQ3 一个一般表示的 Asai $L$-函数在零点处有例外极点，当且仅当该表示是可区分的吗？
• RQ4 两个 Asai $L$-函数的相等性能否归约为关于一般表示诱导数据结构的猜想？
• RQ5 不可约主系表示 $GL(n,K)$ 的 Asai $L$-函数的显式形式是什么？

主要发现

• 对于 $GL(n,K)$ 的一般表示 $\theta$，Rankin-Selberg 类型 Asai $L$-函数 $L_F^K(\theta)$ 与 Langlands 参数的 Asai $L$-函数 $L_F^{K,W}(\theta)$ 相等，当且仅当关于可区分表示分类的猜想 1.1 成立。
• 对于不可约主系表示，可区分表示的猜想成立，因此对这类表示有 $L_F^K(\theta) = L_F^{K,W}(\theta)$。
• 在诱导数据猜想成立的假设下，一般表示 $\theta$ 的 Asai $L$-函数在零点处有例外极点，当且仅当 $\theta$ 是可区分的。
• 若表示 $\theta$ 分解为 $\theta = \theta_d \times \theta_u$，其中 $\theta_d$ 是由满足 $\theta_{i+1}^\tau = \theta_i^\tau$ 的表示诱导的部分，则 $L_F^K(\theta)$ 在零点处的极点阶数仅由 $L_F^K(\theta_d)$ 决定，前提是 $\theta_u$ 非零且由互异的、非可区分表示组成。
• $L_F^K(\theta_d)$ 整除欧拉因子 $L_{(0)}(\theta)$，这确保了 $L_F^K(\theta)$ 在零点的极点为例外极点，当且仅当 $\theta_u = 0$，从而将解析性质与表示论性质联系起来。