[论文解读] Conjectures on the normal covering number of the finite symmetric and alternating groups

Daniela Bubboloni, Cheryl E. Praeger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文提出了对对称群 Sₙ 和交错群 Aₙ 的正规覆盖数 γ(Sₙ) 与 γ(Aₙ) 的猜想，定义为覆盖所有元素所需的最小共轭类的真子群数目。该文猜想：当 n 至少有两个不同的素因子（排除素数幂及两素数乘积）时，γ(Sₙ) = g(n) = (n/2)(1−1/p₁)(1−1/p₂)+2，其中 p₁, p₂ 为 n 的两个最小素因子。主要贡献在于提供了强有力的计算与理论证据，包括对无限族如 n=15q 和 n=6q 的证明，表明所提出的公式同时是 γ(Sₙ) 和 γ(Aₙ) 的上界与下界。

ABSTRACT

Let $γ(S_n)$ be the minimum number of proper subgroups $H_i$ of the symmetric group $S_n$ such that each element in $S_n$ lies in some conjugate of one of the $H_i.$ In this paper we conjecture that $$γ(S_n)=\frac{n}{2}\left(1-\frac{1}{p_1} ight) \left(1-\frac{1}{p_2} ight)+2,$$ where $p_1,p_2$ are the two smallest primes in the factorization of $n$ and $n$ is neither a prime power nor a product of two primes. Support for the conjecture is given by a previous result for $n=p_1^{α_1}p_2^{α_2},$ with $(α_1,α_2) eq (1,1)$. We give further evidence by confirming the conjecture for integers of the form $n=15q$ for an infinite set of primes $q$, and by reporting on a Magma computation. We make a similar conjecture for $γ(A_n)$, when $n$ is even, and provide a similar amount of evidence.

研究动机与目标

• 确定当 n 至少有两个不同素因子时，有限对称群与交错群 G=Sₙ 和 G=Aₙ 的正规覆盖数 γ(G) 的精确值。
• 基于结构与数论性质，建立 γ(Sₙ) 与 γ(Aₙ) 关于 n 的最小素因子的精确公式。
• 提供理论与计算证据，表明所提出的函数 g(n) = (n/2)(1−1/p₁)(1−1/p₂)+2 同时是 γ(Sₙ) 与 γ(Aₙ) 的上界与下界。
• 通过识别线性界中最佳常数，解决 γ(G) 是否随 n 线性增长的开放问题。

提出的方法

• 提出函数 g(n) = (n/2)(1−1/p₁)(1−1/p₂)+2 作为 γ(Sₙ) 与 γ(Aₙ) 的候选值，其中 p₁, p₂ 为 n 的两个最小素因子。
• 使用数论论证证明 g(n)−2 等于小于 n/2 且不被 p₁ 或 p₂ 整除的整数个数，从而确立 g(n) 为整数。
• 应用置换群理论结果，特别是 Sₙ 与 Aₙ 的极大子群分类，分析哪些类型的置换可被非传递、非本原或本原子群覆盖。
• 使用 Magma 计算验证前几百个具有多个素因子的 n 值下该猜想的正确性。
• 通过命题 3.1 证明 g(n) 是 γ(Sₙ) 与 γ(Aₙ) 的上界，并通过定理 1.1 的反证法，为特定无限族建立其为下界。
• 分析通过极大子群共轭类（特别是如 S_k ≀ S_m 的叠积群）对置换类型的覆盖，以强制要求至少需要 g(n) 个组件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有至少有两个不同素因子且 n ≠ p₁p₂ 的 n，函数 g(n) = (n/2)(1−1/p₁)(1−1/p₂)+2 是否为 γ(Sₙ) 的精确值？
• RQ2 对于具有至少两个不同素因子且 n ≠ 2p₂, 12 的偶数 n，同一公式 g(n) 是否给出 γ(Aₙ) 的精确值？
• RQ3 当 n=15q，其中 q 为素数且 q≡2 mod 15，q≠12 mod 13 时，是否 γ(Sₙ) = 4q+2，如猜想所预测？
• RQ4 当 n=6q，其中 q≥11 为素数时，是否 γ(Aₙ) = q+2，从而确认该无限族的猜想？
• RQ5 能否通过结构群论与数论约束，一般性地证明所猜想的公式 g(n) 同时是 γ(Sₙ) 与 γ(Aₙ) 的上界与下界？

主要发现

• 对于 n=15q，其中 q 为素数，q≡2 mod 15，且 q≠12 mod 13，本文证明了 γ(Sₙ) = 4q+2，从而确认了该无限族的猜想。
• 对于 n=6q，其中 q≥11 为素数，本文证明了 γ(Aₙ) = q+2，为猜想 2 提供了强有力证据。
• 通过命题 3.1，g(n) 被证明是 γ(Sₙ) 与 γ(Aₙ) 的上界，本文还提供了建立其为下界的证明策略。
• 本文表明，在 Sₙ 与 Aₙ 的最小基本集中，非传递与非本原子群——尤其是如 S_k ≀ S_m 的叠积群——对覆盖所有置换类型至关重要。
• 来自 Magma 的计算证据确认了前几百个具有多个素因子的 n 值下两个猜想的正确性。
• 分析表明，类型 [1,n−1]（Sₙ 中的对换）无法被非传递或非本原组件集合中的任何子群覆盖，除非增加额外组件，从而强制最小大小至少为 g(n)。