[论文解读] Conjugacy Growth and Conjugacy Width of Certain Branch Groups
本文建立了某些分枝群（包括格里戈里丘克群）的共轭增长函数的下界，表明其增长速度至少达到中间函数 $ e^{n^{\tau}} $，其中 $ 0 < \tau < 1 $。此外，本文证明了具有有限换位子宽的极小无限分枝群具有有界共轭宽——即每个群元素均可表示为生成元的共轭的统一有界个数的乘积——并将其应用于确认格里戈里丘克群在所有生成集下具有有限回文宽。
The conjugacy growth function counts the number of distinct conjugacy classes in a ball of radius $n$. We give a lower bound for the conjugacy growth of certain branch groups, among them the Grigorchuk group. This bound is a function of intermediate growth. We further proof that certain branch groups have the property that every element can be expressed as a product of uniformly boundedly many conjugates of the generators. We call this property bounded conjugacy width. We also show how bounded conjugacy width relates to other algebraic properties of groups and apply these results to study the palindromic width of some branch groups.
研究动机与目标
- 建立一类分枝群（包括格里戈里丘克群）的共轭增长函数的下界。
- 研究有界共轭宽（BCW）的性质，即每个群元素均可表示为生成元的共轭的统一有界个数的乘积。
- 确定分枝群具有BCW的条件，特别是聚焦于具有有限换位子宽的极小无限群。
- 将BCW结果应用于回文宽的研究，尤其关注格里戈里丘克群。
- 证明格里戈里丘克群在所有有限生成集下具有有限回文宽。
提出的方法
- 通过分析在根树上作用的正则分枝群的递归结构来研究共轭增长函数。
- 中间共轭增长的证明依赖于在球对称树上的自相似作用构造共轭类，并通过层级增长来估计其数量。
- 通过结合极小无限性质与有限换位子宽，利用陪集代表元和换位子分解为共轭的界，确立了有界共轭宽。
- 论证使用树层级的归纳法，并利用格里戈里丘克群的雅可比积结构对群元素进行递归分解。
- 一个关键的技术步骤涉及利用导出子群结构和生成元共轭，界定表达换位子所需的共轭数量。
- 回文宽结果源自BCW与一个已知结果的结合：极小无限群在生成集修改后具有有限回文宽，此处通过BCW将其推广至所有生成集。
实验结果
研究问题
- RQ1在正则分枝群（尤其是格里戈里丘克群）中，共轭增长函数的渐近增长速率如何？
- RQ2在何种条件下，分枝群具有有界共轭宽（即每个元素均可表示为生成元的共轭的统一有界个数的乘积）？
- RQ3有界共轭宽如何与有限换位子宽和极小无限性质等其他代数性质相关联？
- RQ4格里戈里丘克群在所有有限生成集下是否具有有限回文宽？
- RQ5有界共轭宽能否用于推导出非对合生成元群的回文宽结果？
主要发现
- 任何在 $ d $-正则根树上作用的有限生成正则分枝群的共轭增长函数，对某个 $ 0 < \tau < 1 $，其下界为 $ e^{n^{\tau}} $，这是一种中间增长速率。
- 在包含一个根元素的极小无限分枝群中，若其换位子宽有限，则每个元素可表示为至多 $ M + C \cdot T $ 个生成元共轭的乘积，其中 $ M $、$ C $ 和 $ T $ 是依赖于群的常数。
- 格里戈里丘克群具有有界共轭宽，因为它满足BCW主定理的条件。
- 由于格里戈里丘克群具有有界共轭宽以及极小无限群的已知结果，其在所有有限生成集下具有有限回文宽。
- 本文提供了非极小无限分枝群中BCW不成立的反例，表明极小无限条件是必要的。
- 计算机实验表明，格里戈里丘克群的换位子宽可能低至2，尽管该结论仍为开放问题。
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