[论文解读] Conjugacy growth of finitely generated groups

Michael Hull, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文完全刻画了有限生成群中可能作为共轭增长函数的函数：函数 $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ 在等价意义下可实现，当且仅当其是非减函数且对某个 $ a \geq 1 $ 满足有上界 $ a^n $。作者构造了一个有限生成群 $ G $，其包含一个指数为 2 的子群 $ H $，使得 $ H $ 仅有两个共轭类，而 $ G $ 具有指数级共轭增长，从而证明共轭增长不是拟等距不变量。

ABSTRACT

We show that every non-decreasing function $f\colon \mathbb N o \mathbb N$ bounded from above by $a^n$ for some $a\ge 1$ can be realized (up to a natural equivalence) as the conjugacy growth function of a finitely generated group. We also construct a finitely generated group $G$ and a subgroup $H\le G$ of index 2 such that $H$ has only 2 conjugacy classes while the conjugacy growth of $G$ is exponential. In particular, conjugacy growth is not a quasi-isometry invariant.

研究动机与目标

• 确定哪些函数可以作为有限生成群的共轭增长函数。
• 研究共轭增长是否在拟等距下保持不变，这是几何群论中的一个核心问题。
• 构造显式例子以展示共轭增长的极端行为，特别是与子群结构的关系。
• 在等价关系下建立共轭增长函数的完整分类。

提出的方法

• 作者使用小扩张理论和 HNN-扩张，通过归纳法构造一个共轭结构受控的群 $ G $。
• 他们定义了一组群序列 $ G(i) $，每个群均满足特定性质：相对于循环子群 $ C $ 的双曲性、无挠性，以及受控的共轭行为。
• 该构造涉及通过 HNN-扩张迭代修改群，并通过商掉正规子群来强制共轭关系。
• 关键技术是应用定理 6.2（一个小扩张结果），以确保某些元素在最终商群中成为共轭。
• 他们利用 Svarč–Milnor 引理和字度量，将共轭增长与群的几何性质联系起来。
• 证明依赖于在群序列中对结构性质（例如在 $ C $ 上的单射性、核的控制）进行归纳验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些函数 $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ 可以作为有限生成群的共轭增长函数？
• RQ2 既然普通增长不是拟等距不变量，共轭增长是否在拟等距下保持不变？
• RQ3 一个有限生成群能否具有指数级共轭增长，而其有限指数子群仅有有限多个共轭类？
• RQ4 群的哪些结构性条件可保证其共轭增长为指数级？
• RQ5 超曲嵌入子群如何影响共轭增长函数？

主要发现

• 函数 $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ 在等价关系 $ f \sim g $（即 $ f \preceq g $ 且 $ g \preceq f $）下可实现为有限生成群的共轭增长函数，当且仅当其是非减函数且对某个 $ a \geq 1 $ 满足有上界 $ a^n $。
• 作者构造了一个有限生成群 $ G $，其包含一个指数为 2 的子群 $ H \leq G $，使得 $ H $ 恰好有两个共轭类。
• 尽管 $ H $ 仅有两个共轭类，$ G $ 的共轭增长仍为指数级，从而证明共轭增长不是拟等距不变量。
• 群 $ G $ 是无挠的且由两个元素生成，其共轭增长函数与 $ 2^n $ 等价，确认了指数增长。
• 该构造依赖于归纳的 HNN-扩张和小扩张技术，以在保持相对于循环子群双曲性的同时控制共轭类。
• 该结果意味着映射类群及其他类似双曲群的子群的共轭增长函数也必为指数级，如定理 1.1 所示。