[论文解读] Connected Coordinated Motion Planning with Bounded Stretch

Sándor P. Fekete, Phillip Keldenich+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Modular Robots and Swarm Intelligence被引用 1

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于具有有界拉伸的机器人集群的连通协同运动规划，确保在重新配置过程中集群始终保持连通。通过利用缩放形状和基于流的协调，该算法实现了最优完成时间的常数因子近似，当起点与目标位置之间的最大曼哈顿距离为 d 时，保证调度持续时间为 O(d)。

ABSTRACT

We consider the problem of coordinated motion planning for a swarm of simple, identical robots: From a given start grid configuration of robots, we need to reach a desired target configuration via a sequence of parallel, continuous, collision-free robot motions, such that the set of robots induces a connected grid graph at all integer times. The objective is to minimize the makespan of the motion schedule, i.e., to reach the new configuration in a minimum amount of time. We show that this problem is NP-hard, even for deciding whether a makespan of 2 can be achieved, while it is possible to check in polynomial time whether a makespan of 1 can be achieved. On the algorithmic side, we establish simultaneous constant-factor approximation for two fundamental parameters, by achieving constant stretch for constant scale. Scaled shapes (which arise by increasing all dimensions of a given object by the same multiplicative factor) have been considered in previous seminal work on self-assembly, often with unbounded or logarithmic scale factors; we provide methods for a generalized scale factor, bounded by a constant. Moreover, our algorithm achieves a constant stretch factor: If mapping the start configuration to the target configuration requires a maximum Manhattan distance of d, then the total duration of our overall schedule is 𝒪(d), which is optimal up to constant factors.

研究动机与目标

• 解决如何高效地将大量相同且连通的机器人从起始网格配置重新配置为目标网格配置，同时在所有时间点保持连通性。
• 在允许并行、无碰撞运动的约束下，最小化完成时间（即所有机器人到达目标位置所需的总时间）。
• 在现实假设下，特别是起始和目标配置中尺度因子有界的情况下，实现对最优完成时间的常数因子近似。
• 通过引入有界尺度因子，推广先前关于自组装和缩放形状的研究，使方法在集群机器人领域具有实际适用性。

提出的方法

• 该方法采用基于流的机器人运动分解，将重新配置建模为一个流网络，其中每个网格单元内的供应和需求均被定义。
• 将每个单元划分为九个子单元，并根据目标方向将机器人分配至子单元，从而在单元边界附近形成集群，以实现协同移动。
• 通过在子单元内采用分层、边缘对齐的机器人排列，同时将集群推向目标单元，构建稳定调度。
• 通过计算起始和目标配置之间的瓶颈匹配，最小化最大位移，从而确保初始完成时间较低。
• 在 O(n^1.5 log n) 时间内应用最小瓶颈匹配，以最小位移对齐起始和目标配置。
• 最终调度通过在单元接口处保持机器人集群，并使用同步、并行的运动步骤，确保连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有界拉伸的连通协同运动规划是否为 NP 完全问题，即使对于像 2 这样的小完成时间也是如此？
• RQ2 在起始和目标配置的尺度因子有界的情况下，能否实现对最优完成时间的常数因子近似？
• RQ3 当起始和目标位置之间的最大曼哈顿距离为 d 时，是否可能实现 O(d) 拉伸的调度？
• RQ4 在不依赖无界尺度因子的前提下，如何在并行机器人重新配置过程中保持连通性？
• RQ5 该算法能否扩展到起始和目标配置不重叠的情况？

主要发现

• 具有有界拉伸的连通协同运动规划问题是 NP 完全的，即使判断完成时间是否为 2 也是 NP 完全的。
• 该多项式时间算法对任意起始到目标的位移 d 实现了 O(d) 的完成时间，该结果在常数因子范围内是最优的。
• 该算法保证了常数拉伸：若最大曼哈顿距离为 d，则总调度持续时间为 O(d)，与集群规模无关。
• 该方法在广义有界尺度因子下有效，扩展了先前假设无界或对数尺度因子的研究。
• 对于不重叠的起始和目标配置，该算法通过计算瓶颈匹配，在 O(d) 完成时间内对齐配置，同时保持常数拉伸特性。
• 只要两个配置的尺度因子至少为一个通用常数 c*，该算法即可实现对最小完成时间的常数因子近似。