[论文解读] Connected Hopf algebras and iterated Ore extensions

Ken A. Brown, S. O'Hagan+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文确定了何时斜多项式扩张的霍普夫代数可赋予霍普夫代数结构，引入了霍普夫欧氏扩张（HOEs）的概念。在特征 0 下，迭代 HOEs 产生连通诺特霍普夫代数，其 Gelfand-Kirillov 维数有限，包括可解李代数的包络代数和幂零代数群的坐标环。

ABSTRACT

We investigate when a skew polynomial extension T = R[x; σ, δ] of a Hopf algebra R admits a Hopf algebra structure, substantially generalising a theorem of Panov. When this construction is applied iteratively in characteristic 0 one obtains a large family of connected noetherian Hopf algebras of finite Gelfand-Kirillov dimension, including for example all enveloping algebras of finite dimensional solvable Lie algebras and all coordinate rings of unipotent groups. The properties of these Hopf algebras are investigated.

研究动机与目标

• 确定霍普夫代数 $ R $ 的斜多项式扩张 $ T = R[x;\sigma,\delta] $ 在何种条件下可赋予扩展 $ R $ 的霍普夫代数结构。
• 将潘诺夫关于具有斜拟元素的斜多项式扩张的定理推广至更广泛的扩张类。
• 建立一个框架，通过迭代扩张构造连通诺特霍普夫代数，其 Gelfand-Kirillov 维数有限。
• 刻画此类代数的结构，特别是代数闭域上特征 0 的仿射交换霍普夫代数的情形。
• 研究迭代 HOEs 满足多项式恒等式时的条件，表明在特征 0 下其必为交换代数。

提出的方法

• 引入霍普夫欧氏扩张（HOE）的概念，定义为可赋予霍普夫代数结构的斜多项式扩张 $ T = R[x;\sigma,\delta] $，其结构扩展自霍普夫子代数 $ R $。
• 推导 $ \sigma $、$ \delta $、$ \Delta(x) $ 和 $ S(x) $ 的必要与充分条件，使 $ T $ 成为霍普夫代数，涉及定理 2.4 中的恒等式 (21)、(22) 和 (23)。
• 在特征 0 的连通情形下，证明 $ \Delta(x) = 1 \otimes x + x \otimes 1 + w $，其中 $ w \in R \otimes R $，且 $ a = 1 $，从而简化结构。
• 使用数学归纳法定义迭代 HOEs（IHOEs）为 HOEs 的链，证明此类代数为连通诺特代数，且 Gelfand-Kirillov 维数等于扩张次数。
• 应用希尔伯特零点定理与模论论证，表明若 $ R $ 交换且 $ T $ 满足多项式恒等式，则 $ \delta $ 必为内导子，且 $ w = 0 $，从而推出交换性。
• 利用缠绕自同构理论与特征群分析 $ \sigma $ 的结构，表明 $ \sigma $ 必为与特征 $ \chi $ 关联的左缠绕自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，霍普夫代数 $ R $ 的斜多项式扩张 $ T = R[x;\sigma,\delta] $ 可赋予扩展 $ R $ 的霍普夫代数结构？
• RQ2 在特征 0 的连通情形下，此类扩张中不定元 $ x $ 的余乘积是否总可化为 $ \Delta(x) = 1 \otimes x + x \otimes 1 + w $ 的形式？
• RQ3 哪些经典连通霍普夫代数，如可解李代数的包络代数或幂零代数群的坐标环，可作为迭代 HOEs 构造？
• RQ4 多项式恒等式对特征 0 下的 IHOEs 施加了何种限制？
• RQ5 缠绕自同构与特征群的结构如何影响 $ \sigma $ 和 $ \delta $ 的形式？

主要发现

• 斜多项式扩张 $ T = R[x;\sigma,\delta] $ 可赋予霍普夫代数结构扩展 $ R $ 的结构，当且仅当 $ \sigma $ 是与特征 $ \chi $ 关联的左缠绕自同构，且 $ \sigma $、$ \delta $、$ w $ 和 $ a $ 满足定理 2.4 中的恒等式 (21)、(22) 和 (23)。
• 在代数闭域上特征 0 的连通情形下，有 $ \Delta(x) = 1 \otimes x + x \otimes 1 + w $，其中 $ w \in R \otimes R $，且 $ \varepsilon(x) = 0 $，$ S(x) = - (x + \sum w_1 S(w_2)) $。
• 在特征 0 域上，长度为 $ n $ 的迭代 HOEs 是连通诺特霍普夫代数，其 Gelfand-Kirillov 维数为 $ n $，且满足 $ \Delta(x_i) = 1 \otimes x_i + x_i \otimes 1 + w^{i-1} $，其中 $ w^{i-1} \in H_{(i-1)} \otimes H_{(i-1)} $。
• 所有有限维可解李代数的包络代数及所有幂零代数群的坐标环在特征 0 下均可表示为迭代 HOEs。
• 若特征 0 域上的 IHOE 满足多项式恒等式，则其必为交换代数，由 $ \sigma $ 必为平凡自同构且 $ \delta $ 为内导子可得。
• 在交换情形下，由 $ x $ 生成的理想 $ I(T) $ 满足 $ I(T) \cap R = 0 $；若 $ R $ 为整环，则 $ w = 0 $，故 $ x $ 为斜拟元素，这迫使 $ \sigma $ 为缠绕自同构且 $ \delta $ 为内导子。