[论文解读] Connected k-Center and k-Diameter Clustering

Lukas Drexler, Jan Eube+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2022

Wildlife-Road Interactions and Conservation被引用 1

一句话总结

本文提出了连通 k-中心和 k-直径聚类问题的近似算法，其中聚类必须在给定的连通性图中诱导出连通子图。该文提出一个框架，首先计算一个非互斥的连通聚类，然后将其转换为互斥的聚类，从而在低维欧几里得空间和常数加倍度量下实现 O(1)-近似，在一般度量下实现 O(log²k)-近似。

ABSTRACT

Motivated by an application from geodesy, we introduce a novel clustering problem which is a $k$-center (or k-diameter) problem with a side constraint. For the side constraint, we are given an undirected connectivity graph $G$ on the input points, and a clustering is now only feasible if every cluster induces a connected subgraph in $G$. We call the resulting problems the connected $k$-center problem and the connected $k$-diameter problem. We prove several results on the complexity and approximability of these problems. Our main result is an $O(\log^2{k})$-approximation algorithm for the connected $k$-center and the connected $k$-diameter problem. For Euclidean metrics and metrics with constant doubling dimension, the approximation factor of this algorithm improves to $O(1)$. We also consider the special cases that the connectivity graph is a line or a tree. For the line we give optimal polynomial-time algorithms and for the case that the connectivity graph is a tree, we either give an optimal polynomial-time algorithm or a $2$-approximation algorithm for all variants of our model. We complement our upper bounds by several lower bounds.

研究动机与目标

• 解决在大地测量学等实际应用中具有连通性约束的聚类问题。
• 在互斥和非互斥聚类模型下，为连通 k-中心和 k-直径问题开发近似算法。
• 弥合一般度量下连通聚类近似的上下界之间的差距。
• 分析在各种连通性图结构下，连通 k-中心和 k-直径问题的可近似性。
• 为特殊情形（如线性连通性图）提供最优算法。

提出的方法

• 提出两阶段方法：首先计算非互斥连通聚类，然后将其转换为互斥聚类。
• 利用良好分离划分确保在低维和加倍度量下的有界近似比。
• 对路径图采用贪心路径覆盖策略，在 O(n² log n) 时间内计算最优解。
• 应用基于直径的路径扩展技术，以在给定半径下找到最小聚类数量。
• 依赖于结构洞察：非互斥解可被修改为互斥解，而不会增加直径或半径。
• 证明对于路径图，存在互斥聚类的最优解，从而可通过路径覆盖实现高效的动态规划。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在低维欧几里得空间和常数加倍度量下，为互斥连通 k-中心和 k-直径问题实现常数因子近似？
• RQ2 连通 k-中心和 k-直径问题在一般度量下的最佳可能近似比是多少？
• RQ3 非互斥聚类框架能否用于推导出互斥变体的更好近似保证？
• RQ4 连通性图的结构如何影响连通聚类问题的可近似性？
• RQ5 是否存在某些图类（如路径图），使得连通 k-中心/diameter 问题可在多项式时间内被最优求解？

主要发现

• 在常数维欧几里得空间和常数加倍维数度量下，实现了互斥连通 k-中心和 k-直径问题的 O(1)-近似。
• 为一般度量情形提供了 O(log²k)-近似，优于先前的界。
• 证明了在星型连通性图下，连通 k-直径问题难以在优于 2 的因子内近似。
• 对于路径连通性图，k-中心和 k-直径的互斥与非互斥版本均可在 O(n² log n) 时间内被最优求解。
• 证明在路径图中，存在互斥聚类的最优解，从而可通过路径覆盖实现高效的动态规划。
• 表明在当前框架下，O(log log k) 以内的改进是不可能的，说明该方法在进一步提升方面存在根本性限制。