[论文解读] Connectedness modulo a topological property

M. R. Koushesh|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文引入并研究了'模拓扑性质的连通性' $\mathscr{P}$，通过将标准连通性中的'空闭包'条件替换为性质 $\mathscr{P}$（例如伪紧性）来推广连通性的概念。主要结果表明，对于完全正则空间，当 $\mathscr{P}$ 为伪紧性时，$\mathscr{P}$-连通性等价于 $\mathrm{cl}_{\beta X}(\beta X \setminus \upsilon X)$ 的连通性，且该性质在完美开连续满射下保持不变。

ABSTRACT

Let ${\mathscr P}$ be a topological property. We say that a space $X$ is ${\mathscr P}$-connected if there exists no pair $C$ and $D$ of disjoint cozero-sets of $X$ with non-${\mathscr P}$ closure such that the remainder $X\backslash(C\cup D)$ is contained in a cozero-set of $X$ with ${\mathscr P}$ closure. If ${\mathscr P}$ is taken to be "being empty" then ${\mathscr P}$-connectedness coincides with connectedness in its usual sense. We characterize completely regular ${\mathscr P}$-connected spaces, with ${\mathscr P}$ subject to some mild requirements. Then, we study conditions under which unions of ${\mathscr P}$-connected subspaces of a space are ${\mathscr P}$-connected. Also, we study classes of mappings which preserve ${\mathscr P}$-connectedness. We conclude with a detailed study of the special case in which ${\mathscr P}$ is pseudocompactness. In particular, when ${\mathscr P}$ is pseudocompactness, we prove that a completely regular space $X$ is ${\mathscr P}$-connected if and only if $cl_{βX}(βX\backslash\upsilon X)$ is connected, and that ${\mathscr P}$-connectedness is preserved under perfect open continuous surjections. We leave some problems open.

研究动机与目标

• 通过引入'模拓扑性质 $\mathscr{P}$ 的连通性'来推广连通性的概念，其中 $\mathscr{P}$ 取代了闭包为空的条件。
• 在对 $\mathscr{P}$ 的温和条件下，刻画完全正则空间的 $\mathscr{P}$-连通性，特别是针对覆盖型性质。
• 研究 $\mathscr{P}$-连通子空间的并集仍为 $\mathscr{P}$-连通的条件。
• 研究保持 $\mathscr{P}$-连通性的连续映射类，尤其在 $\mathscr{P}$ 为伪紧性时的情形。
• 通过Stone–Čech紧化给出 $\mathscr{P}$-连通性的拓扑刻画，特别针对伪紧性。

提出的方法

• 通过不存在不相交的余零集 $C$ 和 $D$，其闭包不满足 $\mathscr{P}$，且 $X \setminus (C \cup D)$ 包含于一个闭包满足 $\mathscr{P}$ 的余零集，来定义 $\mathscr{P}$-连通性。
• 利用Stone–Čech紧化 $\beta X$ 和Hewitt实紧化 $\upsilon X$ 分析 $\beta X \setminus \upsilon X$ 在 $\beta X$ 中的闭包。
• 应用超实映射 $f: X \to Y$ 的概念，其中 $f_\beta[\beta X \setminus \upsilon X] \subseteq \beta Y \setminus \upsilon Y$，以研究 $\mathscr{P}$-连通性在像下的保持性。
• 证明当 $\mathscr{P}$ 为伪紧性时，$\mathscr{P}$-连通性等价于 $\mathrm{cl}_{\beta X}(\beta X \setminus \upsilon X)$ 的连通性。
• 利用余零集、零集以及到 $\beta X$ 和 $\beta Y$ 的连续扩张的性质，将拓扑结构与 $\mathscr{P}$-连通性联系起来。
• 利用完美开连续满射是超实映射的事实，使得 $\beta X \setminus \upsilon X$ 的连通性性质可传递至 $\beta Y \setminus \upsilon Y$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的拓扑性质 $\mathscr{P}$，特别是当 $\mathscr{P}$ 为伪紧性时，完全正则空间 $X$ 何时是 $\mathscr{P}$-连通的？
• RQ2 在何种条件下，$\mathscr{P}$-连通子空间的并集仍为 $\mathscr{P}$-连通？
• RQ3 哪些连续映射类保持 $\mathscr{P}$-连通性，特别是在完美开连续满射下？
• RQ4 如何通过Stone–Čech紧化 $\beta X$ 来刻画 $\mathscr{P}$-连通性？
• RQ5 在 $\mathscr{P}$ 为伪紧性时，$\mathscr{P}$-连通性是否在空间的积下保持不变？

主要发现

• 完全正则空间 $X$ 是伪紧性连通的，当且仅当 $\mathrm{cl}_{\beta X}(\beta X \setminus \upsilon X)$ 是连通的。
• 完美开连续满射类保持伪紧性连通性，因为其对应的 $\beta$-扩张将 $\beta X \setminus \upsilon X$ 映满至 $\beta Y \setminus \upsilon Y$。
• 当 $\mathscr{P}$ 为伪紧性时，$\mathscr{P}$-连通性可通过 $\beta X \setminus \upsilon X$ 在 $\beta X$ 中的闭包的连通性进行拓扑刻画，提供了强有力的结构准则。
• $\mathscr{P}$-连通性在超实映射下保持不变，且由于完美开连续满射是超实映射，因此该类映射保持 $\mathscr{P}$-连通性。
• 通过 $\mathrm{cl}_{\beta X}(\beta X \setminus \upsilon X)$ 的连通性刻画 $\mathscr{P}$-连通性，在对 $\mathscr{P}$ 的温和条件下成立，包括伪紧性的情形。
• 本文未解决的问题是：$\mathscr{P}$-连通空间的积是否仍为 $\mathscr{P}$-连通，特别是当 $\mathscr{P}$ 为伪紧性时。