[论文解读] Connecting Constructive Notions of Ordinals in Homotopy Type Theory

Nicolai Kraus, Fredrik Nordvall Forsberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Logic, programming, and type systems参考文献 28被引用 2

一句话总结

本文将同伦类型论中的三个构造性序数概念——康托尔标准形（Cnf）、布劳威尔树（Brw）和扩展性良基序（Ord）——联系起来。它建立了从 Cnf 到 Brw 以及从 Brw 到 Ord 的结构保持嵌入，表明这三种形式化系统均支持良基、扩展性序关系与算术运算，且可判定性沿此链递减。主要贡献是在立方 Agda 中形式化了一个序数表示的层级结构，证明了它们在统一的公理框架下的一致性。

ABSTRACT

In classical set theory, there are many equivalent ways to introduce ordinals. In a constructive setting, however, the different notions split apart, with different advantages and disadvantages for each. We consider three different notions of ordinals in homotopy type theory, and show how they relate to each other: A notation system based on Cantor normal forms, a refined notion of Brouwer trees (inductively generated by zero, successor and countable limits), and wellfounded extensional orders. For Cantor normal forms, most properties are decidable, whereas for wellfounded extensional transitive orders, most are undecidable. Formulations for Brouwer trees are usually partially decidable. We demonstrate that all three notions have properties expected of ordinals: their order relations, although defined differently in each case, are all extensional and wellfounded, and the usual arithmetic operations can be defined in each case. We connect these notions by constructing structure preserving embeddings of Cantor normal forms into Brouwer trees, and of these in turn into wellfounded extensional orders. We have formalised most of our results in cubical Agda.

研究动机与目标

• 统一同伦类型论中三种不同的构造性序数概念：康托尔标准形、布劳威尔树与扩展性良基序。
• 证明这些概念满足序数应有的核心性质，如扩展性与良基性。
• 从更简单的序数表示到更复杂的表示，构建忠实且保持结构的嵌入，表明它们在共同公理框架下的一致性。
• 分析三种形式化系统在相等性、序关系与算术运算上的可判定性权衡，特别是构造性设定下的表现。
• 在立方 Agda 中形式化所有结果，为证明助手中的构造性序数算术提供可验证的基础。

提出的方法

• 在序数的抽象公理框架下，定义康托尔标准形上的算术运算，并证明其正确性。
• 将布劳威尔树引入为通过零、后继和可数序列上确界构造子生成的归纳类型，利用高阶归纳类型确保其忠实性。
• 构造嵌入 CtoB : Cnf → Brw，证明其保持序关系与算术运算，表明 Cnf 可嵌入于 Brw 中。
• 通过类型 BtoO(a) = Σ(y : Brw).(y < a) 定义嵌入 BtoO : Brw → Ord，证明其为单射、保持序关系且为嵌入。
• 证明在排中律成立时，BtoO 是一个模拟，且通过将其失败与 WLPO 关联，表明该假设是必要的。
• 在立方 Agda 中形式化所有结果，利用其对高阶归纳类型与同一性公理的支持，验证构造的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在构造性设定下，康托尔标准形、布劳威尔树与扩展性良基序在相等性、序关系与算术运算的可判定性方面有何异同？
• RQ2 能否从康托尔标准形到布劳威尔树构造一个忠实且保持结构的嵌入？该嵌入是否保持算术运算？
• RQ3 从布劳威尔树到扩展性良基序的嵌入是否为一个模拟？该性质成立所需的基础原理是什么？
• RQ4 在同伦类型论中，这三种序数形式化在多大程度上满足经典序数公理（如扩展性与良基性）？
• RQ5 类型理论的证明论强度与其可表示的序数之间有何关系，特别是与高阶归纳类型及归纳-递归定义的关系如何？

主要发现

• 嵌入 CtoB : Cnf → Brw 保持序关系与算术运算，且为单射，表明康托尔标准形可忠实嵌入于布劳威尔树中。
• 函数 BtoO : Brw → Ord 是一个单射、保持序关系的嵌入，将每个布劳威尔树映射为其下集，从而保持序结构。
• 在排中律成立时，BtoO 是一个模拟，但该性质在构造性设定下不成立；假设 BtoO 是模拟意味着 WLPO，一个已知的构造性禁忌。
• BtoO 并不忠实保持后继运算：BtoO(succ x) ≥ BtoO x ⊎1，且反向不等式蕴含 WLPO，表明其在算术上存在过度近似。
• 在 Brw 上，(ω ≤ _) 是可判定的，但 (ω < _) 仅在 WLPO 成立时才可判定，凸显了该层级中的可判定性权衡。
• 在立方 Agda 中的形式化确认了所有构造的正确性，关键结果如 BtoO 的序保持性与 Cnf 的算术一致性均得到验证。