[论文解读] Connection by geodesics on globally hyperbolic spacetimes with a lightlike Killing vector field

Rossella Bartolo, Anna María Candela+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了在具有完整类光 Killing 向量场和完整 Cauchy 超曲面的全局双曲时空中的两点之间能通过测地线连接的刻画。通过在一系列扰动后的标准静态时空上使用极限论证，作者证明：此类两点能通过测地线连接当且仅当它们能被一条 $C^1$ 曲线连接，且该曲线与 Killing 向量场的内积具有恒定符号或恒为零。一个关键推论是：具有完整 Cauchy 超曲面的全局双曲广义平面波是测地线连通的。

ABSTRACT

Given a globally hyperbolic spacetime endowed with a complete lightlike Killing vector field and a complete Cauchy hypersurface, we characterize the points which can be connected by geodesics. A straightforward consequence is the geodesic connectedness of globally hyperbolic generalized plane waves with a complete Cauchy hypersurface.

研究动机与目标

• 确定在具有完整类光 Killing 向量场和完整 Cauchy 超曲面的全局双曲时空中，哪些点对能通过测地线连接。
• 将已知的关于具有类时间 Killing 向量场的静态时空测地线连通性的结果，推广到类光 Killing 向量场的极限情形。
• 为这一类时空建立一个精确、内在的测地线连通性判据，类似于类时间情形下的结果。
• 展示该结果在广义平面波中的适用性，确认在全局双曲性和 Cauchy 超曲面完备性条件下，广义平面波是测地线连通的。

提出的方法

• 将原始时空度量扰动为一列收敛于原始度量的标准静态度量。
• 对每个扰动后的度量应用标准静态时空测地线连通性定理的改编版本。
• 利用涉及与 Killing 向量场内积的 $C^1$ 曲线条件，推导出连接测地线序列的统一估计。
• 在适当的 Sobolev 和一致拓扑下，建立测地线序列的强收敛性。
• 利用测地线序列的极限，证明在未扰动时空中原点之间存在一条测地线。
• 利用变分方法和泛函收敛性，确保极限测地线满足所需的能量和因果性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有完整类光 Killing 向量场的全局双曲时空中，两点在何种条件下能通过测地线连接？
• RQ2 关于具有类时间 Killing 向量场的时空测地线连通性的结果，是否可推广到类光 Killing 向量场的情形？
• RQ3 在连接两点的曲线上，何种内在几何条件可确保具有类光 Killing 向量场的时空中的测地线连通性？
• RQ4 广义平面波的测地线连通性是否为全局双曲性和 Cauchy 超曲面完备性的推论？
• RQ5 用于类时间 Killing 向量场的极限论证是否可适应于类光情形？会遇到哪些新挑战？

主要发现

• 在具有完整类光 Killing 向量场和完整 Cauchy 超曲面的全局双曲时空中的两点，当且仅当它们能被一条 $C^1$ 曲线连接，且该曲线与 Killing 向量场的内积具有恒定符号或恒为零时，才能通过测地线连接。
• 该证明依赖于极限论证：将度量扰动为一列标准静态时空，对每个扰动度量应用已知的测地线连通性结果，并取连接测地线序列的极限。
• 证明了极限测地线存在且为因果的，因为能量泛函收敛，且极限满足因果性条件 $f(\gamma) \leq 0$。
• 该结果确认了任意具有完整 Cauchy 超曲面的全局双曲广义平面波都是测地线连通的。
• 曲线上的条件是精确的，且与广义平面波的先前结果一致，提供了一个统一的判据。
• 该方法揭示了测地线连通性在一般情况下不被时空序列的极限所保持，凸显了从类时间到类光 Killing 向量场推广结果的微妙性。