[论文解读] Connection with parallel totally skew-symmetric torsion on almost complex manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文研究了具有 Norden 度量的几乎复流形上具有平行、完全反对称扭曲的线性联络。它证明了此类联络具有 Kähler 曲率张量当且仅当流形是具有 Norden 度量的共形 Kähler 流形，并证明了该联络的标量曲率与 Levi-Civita 联络的标量曲率相等的情形恰好发生在此条件下。

ABSTRACT

In the present work we consider an almost complex manifold with Norden metric (i.e. a metric with respect to which the almost complex structure is an antiisometry). On such a manifold we study a linear connection preserving the almost complex structure and the metric and having a totally skew-symmetric torsion tensor. We consider the case when the manifold admits a connection with parallel totally skew-symmetric torsion and the case when such connection has a Kaehler curvature tensor. We get necessary and sufficient conditions for an isotropic Kaehler manifold with Norden metric.

研究动机与目标

• 研究具有 Norden 度量的几乎复流形上具有平行、完全反对称扭曲的线性联络。
• 确定此类联络具有 Kähler 曲率张量的充要条件。
• 阐明该联络与 Levi-Civita 联络的标量曲率之间的关系。
• 根据曲率与扭曲性质，刻画具有 Norden 度量的共形 Kähler 流形。

提出的方法

• 引入具有完全反对称扭曲张量 T 且满足平行条件 ∇′T = 0 的线性联络 ∇′。
• 使用联络 ∇′ 的曲率张量公式 R′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + 2g(Q(x,y),Q(z,w)) − g(Q(x,z),Q(y,w)) + g(Q(y,z),Q(x,w))。
• 应用第一 Bianchi 恒等式与 Kähler 张量条件，推导出充要条件 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0。
• 利用恒等式 Q(Jx,Jy) = −Q(x,y) − (∇JxJ)y − (∇yJ)Jx，关联几乎复结构下的曲率分量。
• 对曲率张量进行迹收缩，将标量曲率 τ 与 τ** 与范数 ∥∇J∥² 关联。
• 利用 [6] 和 [5] 中的已知恒等式，得出 τ** + τ = −1/8∥∇J∥² 与 τ** + τ = −1/2∥∇J∥²，从而推出 ∥∇J∥² = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 Norden 度量的拟 Kähler 流形上，具有平行、完全反对称扭曲的联络在何种条件下具有 Kähler 曲率张量？
• RQ2 联络 ∇′ 与 Levi-Civita 联络 ∇ 的标量曲率在何时相等？
• RQ3 联络 ∇′ 的 Kähler 曲率张量与 Nijenhuis 张量的共形性之间有何关系？
• RQ4 若存在具有 Kähler 曲率张量的平行、完全反对称扭曲联络，是否意味着流形是共形 Kähler 流形？
• RQ5 在 Kähler 曲率条件成立时，曲率分量 R(x,y,z,w) 与 R(x,y,Jz,Jw) 之间有何关系？

主要发现

• 具有平行、完全反对称扭曲的联络 ∇′ 具有 Kähler 曲率张量当且仅当循环和 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 成立。
• 当满足 Kähler 条件时，联络 ∇′ 的曲率张量简化为 R′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + g(Q(x,y),Q(z,w))。
• 联络 ∇′ 与 Levi-Civita 联络 ∇ 的标量曲率相等当且仅当流形是具有 Norden 度量的共形 Kähler 流形。
• 若 ∇′ 同时具有平行扭曲与 Kähler 曲率张量，则流形必为具有 Norden 度量的共形 Kähler 流形。
• 条件 τ** + τ = −1/8∥∇J∥² 与 τ** + τ = −1/2∥∇J∥² 共同推出 ∥∇J∥² = 0，从而证明流形为共形 Kähler 流形。
• 流形是具有 Norden 度量的共形 Kähler 流形当且仅当联络 ∇′ 与 ∇ 的标量曲率相等。