[论文解读] Connection with torsion, parallel spinors and geometry of Spin(7) manifolds

Stefan Ivanov|ArXiv.org|Nov 20, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用 9

一句话总结

该论文证明了在任意8维Spin(7)流形上，存在唯一一个保持非平凡旋量和Spin(7)结构的完全反对称扭率的线性联络。推导了扭率三形式与数量曲率的显式公式，其表达式基于基本四形式；证明了当紧致且局部但非整体共形平行的Spin(7)流形满足闭合基本四形式时，Â-示性类为零；并给出了8维情形下Killing旋量方程的完整解。

ABSTRACT

We show that on every Spin(7) manifold there always exists a unique linear connection with totally skew-symmetric torsion preserving a nontrivial spinor and the Spin(7) structure. We express its torsion and the Riemannian scalar curvature in terms of the fundamental 4-form. We present an explicit formula for the Riemannian covariant derivative of the fundamental 4-form in terms of its exterior differential. We show the vanishing of the (\hat)-A genus and obtain a linear relation between Betti numbers of a compact Spin(7) manifolds which are locally but not globally conformally equivalent to a space with closed fundamental 4-form. A general solution to the Killing spinor equations is presented

研究动机与目标

• 建立任意8维Spin(7)流形上保持非平凡旋量和Spin(7)结构的度量联络的存在性与唯一性，该联络具有完全反对称的扭率。
• 以基本四形式显式表达扭率三形式与黎曼数量曲率。
• 以基本四形式的外导数表达其关于Levi-Civita联络的协变导数。
• 证明在紧致且局部但非整体共形等价于具有闭合基本四形式的空间的Spin(7)流形上，Â-示性类为零，并建立贝蒂数之间的线性关系。
• 给出8维情形下Killing旋量方程的一般解，通过膨胀函数与共形结构表征解。

提出的方法

• 利用表示理论与Holonomy约束，推导出保持Spin(7)结构与非平凡旋量的唯一具有完全反对称扭率的联络。
• 应用Bryant关于基本四形式的Levi-Civita导数结果，将∇_gΦ用dΦ表示。
• 应用带扭率的Dirac算子的Schrödinger-Lichnerowicz公式，将数量曲率与扭率范数及Lee形式关联。
• 利用Atiyah-Singer指标定理与Lichnerowicz消去定理，在给定共形条件下证明Â-示性类为零。
• 通过将场强H=T与膨胀函数Ψ关联，求解Killing旋量方程，推导出T与Scal^g关于dΨ的显式表达式。
• 利用共形变换表明，非恒定膨胀函数解源于通过共形重标度得到的平衡Spin(7)结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个8维Spin(7)流形是否都存在唯一一个保持非平凡旋量与Spin(7)结构的完全反对称扭率的线性联络？
• RQ2 扭率三形式与黎曼数量曲率能否显式地用基本四形式Φ表示？
• RQ3 Φ的外导数与Φ关于Levi-Civita联络的协变导数之间有何关系？
• RQ4 对于紧致且局部但非整体共形等价于具有闭合基本四形式空间的Spin(7)流形，Â-示性类是否为零？
• RQ5 8维Killing旋量方程的一般解是什么？其与度量的共形类及膨胀函数有何关系？

主要发现

• 在每个8维Spin(7)流形上，均存在唯一一个保持非平凡旋量与Spin(7)结构的完全反对称扭率的线性联络。
• 扭率三形式为 T = -δΦ - (7/6)*(θ ∧ Φ)，其中 θ = (1/7)*(*δΦ ∧ Φ)，且T在平行旋量φ上的Clifford作用满足 T·φ = -(7/6)θ·φ。
• 黎曼数量曲率为 Scal^g = (49/18)||θ||² - (1/12)||T||² + (7/2)δθ，而联络的数量曲率为 Scal = (49/18)||θ||² - (1/3)||T||² + (7/2)δθ。
• 对于紧致、局部但非整体共形平行的Spin(7)流形，Â-示性类为零，且贝蒂数之间存在线性关系。
• 8维Killing旋量方程的解等价于存在一个Lee形式为 θ = -12/7 dΨ 的Spin(7)结构，且3-形式场强为 T = -δΦ + 2*(dΨ ∧ Φ)。
• 任何具有非恒定全局定义的膨胀函数Ψ的解，均可通过共形重标度 g = e^(6/7 Ψ)g₀ 与 Φ = e^(12/7 Ψ)Φ₀ 从平衡Spin(7)结构导出。