[论文解读] Connections and jet fields

Arturo Echeverrı́a-Enrı́quez, Miguel C. Muñoz‐Lecanda+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文全面回顾了纤维丛与喷射丛中的联络，通过多向量场和喷射场，建立了其与一阶和二阶偏微分方程（PDEs）系统的等价性。它展示了如何通过切丛的水平与垂直分解来表征联络——特别是线性联络与度量联络，关键结果将协变导数与水平提升以及流形切丛上向量场的完全提升联系起来。

ABSTRACT

In this review paper we discuss the different interpretations of the concept of connection in a fiber bundle and in a jet bundle, and relate it with first and second-order systems of partial differential equations (PDE's) and multivector fields. As particular cases we analyze the concepts of linear connections and connections in a manifold.

研究动机与目标

• 统一并澄清纤维丛中联络的多种等价解释，强调其几何与代数结构。
• 通过整体喷射场建立喷射丛中联络与二阶偏微分方程（SOPDEs）之间的对应关系。
• 利用喷射丛与多向量场框架分析流形上的线性联络与联络。
• 阐明水平与垂直分解在定义协变导数与平行移动中的作用。
• 通过喷射理论形式化，为理论物理与微分几何中的联络提供几何基础。

提出的方法

• 利用一阶喷射丛 $J^1\tilde{\tau}$ 表示截面的喷射提升，其中 $J^1\tilde{\tau}$ 的局部坐标为 $(x^\nu, y^i, y^i_\nu)$。
• 通过水平子丛 $\mathrm{H}(\nabla) \subset \mathrm{T}(J^1\tilde{\tau})$ 定义纤维丛上的联络，其局部基为 $\left\{ \frac{\partial}{\partial x^\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\mu} v^\mu \frac{\partial}{\partial v^\rho} \right\}$。
• 在 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M)$ 上引入水平与垂直投影 $\mathfrak{h}, \mathfrak{v}$，实现向量场的分解，并定义协变导数。
• 将向量场 $Y$ 的完全提升 $Y^C$ 应用于 $\mathrm{T}M$，通过其水平与垂直部分的分解来表达 $\nabla_X Y$。
• 通过分裂 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M) = \mathrm{V}(\tau) \oplus \mathrm{H}(\nabla)$ 表征联络，其中 $\mathrm{H}(\nabla)$ 由克里斯托费尔符号 $\Gamma^\rho_{\nu\mu}$ 确定。
• 利用Liouville向量场及其性质表征线性联络，尤其在切丛语境下。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过喷射场与多向量场，纤维丛中的联络如何与一阶PDE系统等价？
• RQ2 通过整体喷射场，$J^1\pi$ 中的联络与二阶PDE（SOPDEs）之间的确切几何关系是什么？
• RQ3 如何利用 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M)$ 的水平与垂直分解表征流形上的线性联络？
• RQ4 向量场的完全提升与水平投影如何导出协变导数？
• RQ5 喷射丛与多向量场的使用如何统一几何力学中联络与PDEs的处理？

主要发现

• 通过喷射场的可积性与 $J^1\pi$ 中整体截面的存在性，纤维丛中的联络与一阶PDE系统等价。
• 流形上的联络诱导出 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M)$ 中的水平子丛 $\mathrm{H}(\nabla) \subset \mathrm{T}(\mathrm{T}M)$，其局部基为 $\left\{ \frac{\partial}{\partial x^\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\mu} v^\mu \frac{\partial}{\partial v^\rho} \right\}$，从而定义协变导数。
• 协变导数 $\nabla_X Y$ 在几何上实现为 $[\mathrm{T}_p\tau(\mathfrak{h} \circ Y^C \circ X)](p)$，其中 $Y^C$ 是 $Y$ 的完全提升。
• 在 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M)$ 上的水平与垂直投影 $\mathfrak{h}, \mathfrak{v}$ 将任意向量场分解，其局部表达式明确以克里斯托费尔符号表示。
• 向量丛上的线性联络通过分裂 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M) = \mathrm{V}(\tau) \oplus \mathrm{H}(\nabla)$ 表征，其中 $\mathrm{H}(\nabla)$ 由联络系数 $\Gamma^\rho_{\nu\mu}$ 确定。
• 本文确立了向量场 $Y$ 的完全提升 $Y^C$ 可分解为水平与垂直分量，且垂直部分通过 $\mathfrak{V}(Y^C)$ 给出协变导数 $\nabla_X Y$。