[论文解读] Connections in holomorphic Lie algebroids

Alexandru D. Ionescu, Gheorghe Munteanu|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过分析全纯叶状丛的切丛 $T^{\infty\bullet}E$ 及其延拓 $\mathcal{T}^{\infty\bullet}E$，研究全纯李代数丛中的联络结构，引入由复拉格朗日量导出的典范喷射，并从 $E$ 上的陈-拉格朗日联络推导出 $T^{\infty\bullet}M$ 上的非线性联络。主要贡献在于：基于 $E$ 上的拉格朗日结构，构造了 $T^{\infty\bullet}M$ 上的诱导非线性联络，给出了联络系数与适配基的显式公式。

ABSTRACT

The main purpose of this note is the study of the total space of a holomorphic Lie algebroid $E$. The paper is structured in three parts. In the first section we briefly introduce basic notions on holomorphic Lie algebroids. The local expressions are written and the complexified holomorphic bundle is introduced. The second section is a little broader and includes two approaches to study the geometry of complex manifold $E.$ The first part contains the study of the tangent bundle $T_{C}E=T^{\prime }E\oplus T^{\prime \prime }E$ and its link, via tangent anchor map, with the complexified tangent bundle $% T_{C}(T^{\prime }M)=T^{\prime }(T^{\prime }M)\oplus T^{\prime \prime }(T^{\prime }M).$ A holomorphic Lie algebroid structure has been emphasized on $T^{\prime }E.$ A special study is made for integral curves of a spray on $% T^{\prime }E.$ Theorem 2.1 gives the coefficients of a spray, called canonical, according to a complex Lagrangian on $T^{\prime }E.$ In the second part of section two we study the prolongation $\mathcal{T}% ^{\prime }E$ of $E imes T^{\prime }E$ algebroid structure. In the third section we study how a complex Lagrange (Finsler) structure on $T^{\prime }M$ induces a Lagrangian structure on $E.$ Three particular cases are analyzed by the rank of anchor map, the dimensions of manifold $M$ and the fibre dimension. We obtain the correspondent on $E$ of the well-known (\cite{Mu}) Chern-Lagrange nonlinear connection from $T^{\prime }M$.

研究动机与目标

• 将实李代数丛几何推广至全纯情形，特别关注切丛与延拓结构。
• 通过复拉格朗日量定义并刻画 $T^{\tiny\bullet}E$ 上的典范喷射，将变分原理推广至全 holomorphic 代数丛。
• 通过余切映射与诱导坐标，建立 $E$ 上的非线性联络与 $T^{\tiny\bullet}M$ 上的非线性联络之间的对应关系。
• 研究 $T^{\tiny\bullet}M$ 上的拉格朗日结构如何诱导 $\mathcal{T}^{\tiny\bullet}E$ 上的拉格朗日结构与非线性联络。
• 证明 $T^{\tiny\bullet}M$ 上的陈-拉格朗日非线性联络正是由 $E$ 上的拉格朗日结构所诱导的联络。

提出的方法

• 通过全纯余切映射 $\rho: E \to T^\prime M$ 引入全纯李代数丛，并利用 $T^\prime M$ 上的全纯括号的拉回定义 $\Gamma(E)$ 上的李括号。
• 将切丛 $T^\prime E$ 定义为全纯李代数丛，并构造与 $T^\prime E$ 上非线性联络相适应的复线性联络。
• 通过正则复拉格朗日量 $L^\ast$ 的变分原理，利用公式 $N_h^k(z,\eta) = \rho_\alpha^k N_h^\alpha(z,u) - u^\alpha \partial \rho_\alpha^k / \partial z^h$ 推导 $T^\prime E$ 上典范喷射的系数。
• 将 $E$ 的延拓 $\mathcal{T}^\prime E$ 构造为全纯代数丛，并通过定义几乎切丛结构与李乌ille张量，诱导出非线性联络。
• 利用余切映射的完全提升，将 $E$ 的几何与 $T^\prime M$ 的几何联系起来，并通过 $\delta^\ast \eta^k = \rho_\alpha^k \delta u^\alpha$ 定义适配基与余基。
• 通过坐标变换 $\eta^k = \rho_\alpha^k u^\alpha$ 建立 $T^\prime E$ 上的非线性联络与 $T^\prime M$ 上诱导联络之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用非线性联络与复拉格朗日量对全纯李代数丛 $E$ 的几何进行线性化？
• RQ2 由正则复拉格朗日量导出的 $T^\prime E$ 上的典范喷射的显式形式为何？
• RQ3 通过余切映射，$E$ 上的非线性联络如何诱导出 $T^\prime M$ 上的非线性联络？
• RQ4 能否将 $T^\prime M$ 上的陈-拉格朗日非线性联络视为由 $E$ 上的拉格朗日量所诱导的联络？
• RQ5 $T^\prime E$ 上的适配基与 $T^\prime M$ 上的诱导基之间存在何种关系？

主要发现

• 典范喷射在 $T^\prime E$ 上完全由复拉格朗日量 $L^\ast$ 决定，其系数为 $N_h^k(z,\eta) = \rho_\alpha^k N_h^\alpha(z,u) - u^\alpha \partial \rho_\alpha^k / \partial z^h$。
• 在 $T^\prime M$ 上诱导的非线性联络满足 $\delta^\ast \eta^k = \rho_\alpha^k \delta u^\alpha$，确保了 $E$ 与 $T^\prime M$ 之间几何的一致性。
• $T^\prime M$ 上的适配基为 $\frac{\delta}{\delta z^k} = \frac{\delta^\ast}{\delta z^k}$ 与 $\frac{\partial}{\partial \eta^k} = \frac{\partial^\ast}{\partial v^k}$，其中 $v^k = \rho_\alpha^k u^\alpha$。
• $T^\prime M$ 上的度量张量 $g_{i\bar{j}}(z,\eta)$ 是 $E$ 上度量的拉回，表达式为 $g_{i\bar{j}}(z,\eta) = \left(g_{i\bar{j}}(z,u)\right)^\ast = \frac{\partial^2 L^\ast}{\partial \eta^i \partial \bar{\eta}^j}$。
• $T^\prime M$ 上的陈-拉格朗日非线性联络由 $E$ 上的陈-拉格朗日联络通过余切映射诱导而来，如命题 3.6 所示。
• $\mathcal{T}^\prime E$ 上的非线性联络由 $\mathcal{T}^\prime E$ 上的喷射通过定理 2.2 导出，且在 $T^\prime M$ 上诱导的联络与经典陈-拉格朗日联络一致。