[论文解读] Connections over twisted tensor products of algebras

Javier López Peña|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种构造性方法，通过代数因子上的联络来构建扭张量积上代数的联络，证明若两个输入联络均为平坦的，则所得乘积联络也是平坦的。结果表明，乘积联络的曲率与扭化映射及模扭化映射无关，从而确保了一致性，并将经典乘积联络推广至非交换设置，同时显式计算了量子平面 $k_q[x,y]$ 上的所有乘积联络。

ABSTRACT

Motivated by some results in classical differential geometry, we give a constructive procedure for building up a connection over a (twisted) tensor product of two algebras, starting from connections defined on the factors. The curvature for the product connection is explicitly calculated, and shown to be independent of the choice of the twisting map and the module twisting map used to define the product connection. As a consequence, we obtain that a product of two flat connections is again a flat connection. We show that our constructions also behaves well with respect to bimodule structures, namely being the product of two bimodule connections again a bimodule connection. As an application of our theory, all the product connections on the quantum plane are computed.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，利用分量代数上的联络来构造扭张量积代数上的联络。
• 通过扭张量积将微分几何中的经典乘积联络推广至非交换设置。
• 证明乘积联络的曲率与扭化映射及模扭化映射的选择无关。
• 证明两个平坦联络的乘积在扭张量积上仍为平坦联络，从而将经典几何中的一个关键性质推广。
• 使用所提出的构造方法，显式计算量子平面 $k_q[x,y]$ 上所有可能的乘积联络。

提出的方法

• 通过涉及单个联络和扭化映射的公式，在扭张量积 $A times_R B$ 上定义乘积联络，该联络作用于 $A$-模 $E$ 和 $B$-模 $F$。
• 使用扭化映射 $R: B igotimes A o A igotimes B$ 及其诱导的模扭化映射 $\tau_{F,A}: F igotimes A o A igotimes F$，定义在元素张量积上的作用。
• 将乘积联络 $\nabla$ 构造为若干项之和：$\nabla(e \otimes b, a \otimes f) = \nabla^{gr}(e \otimes b, a \otimes f) + \sum \varphi_i(a_j) \otimes 1 \otimes \omega_i \otimes b + \sum a \otimes \psi_k(b_l) \otimes 1 \otimes \eta_k$，其中 $\varphi_i, \psi_k$ 为规范势的分量。
• 验证所得算子满足莱布尼茨法则，并在乘积模 $E \otimes F$ 上定义了一个行为良好的联络。
• 计算乘积联络的曲率，并证明当两个输入联络均为平坦时，曲率恒为零，无论使用何种扭化映射。
• 将该构造显式应用于量子平面 $k_q[x,y] = k[x] \rtimes_R k[y]$，其中 $R(y \otimes x) = qx \otimes y$，以规范势为参数，推导出所有乘积联络的完整族。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将两个代数上的联络组合起来，以定义其扭张量积上的联络？
• RQ2 所得乘积联络的曲率是否依赖于扭化映射或模扭化映射的选择？
• RQ3 两个因子上平坦联络的乘积是否必然在扭张量积上保持平坦？
• RQ4 该构造能否推广至双模联络，同时保持双模结构？
• RQ5 量子平面 $k_q[x,y]$ 上所有可能的乘积联络是什么？

主要发现

• 在扭张量积代数上构造的乘积联络与扭化映射及模扭化映射的选择无关，确保了在不同实现中的一致性。
• 乘积联络的曲率被显式计算，并证明当两个输入联络均为平坦时曲率恒为零，从而证明平坦性在乘积构造下得以保持。
• 两个平坦联络的乘积在扭张量积上仍为平坦联络，将经典结果推广至非交换设置。
• 该构造保持双模结构，即两个双模联络的乘积仍是双模联络。
• 量子平面 $k_q[x,y]$ 上的所有乘积联络均已完全计算，其表达式以 $k[x]$ 和 $k[y]$ 上输入联络的规范势为参数，显式包含 $q$-变形作用。
• 在 $k[x]$ 和 $k[y]$ 上自由模上的格拉斯曼联络通过乘积构造被推广至量子平面，得到一个典范的平坦乘积联络。