[论文解读] Connections under Symplectic Reduction

Izu Vaisman|ArXiv.org|Jun 4, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了在辛流形上具有哈密顿群作用的辛联络在马斯德林-魏斯科特约化流形上约化为辛联络的条件。证明表明，若 момента-отображения 的水平集在联络下是自平行的，且群作用为仿射，则联络唯一地约化到商流形上，且保持与诱导辛结构的相容性。该结果通过特征叶层上的可投射联络推广至预辛流形。

ABSTRACT

In this note we give conditions which ensure the reduction of a symplectic connection in the process of a Marsden-Weinstein reduction and of the reduction of a presymplectic manifold.

研究动机与目标

• 确定在具有哈密顿群作用的辛流形上，辛联络在马斯德林-魏斯科特约化流形上约化为辛联络的条件。
• 刻画给定辛联络下， момента-отображения 水平集为自平行的条件。
• 通过分析与预辛形式相容的可投射联络，将约化框架推广至预辛流形。
• 建立预辛联络的存在性及相对于特征叶层的可投射条件。
• 阐明几何与代数条件（如仿射 момента-отображения 和艾蒂希类为零）在联络约化过程中的作用。

提出的方法

• 在具有哈密顿 G-作用和等变 момента-отображения J: M → g* 的辛流形 (M, ω) 上定义辛联络 ∇。
• 引入仿射作用的概念，即群作用通过条件 Φg*(∇XY) = ∇Φg*X(Φg*Y) 保持联络 ∇。
• 将自平行子流形 C = J⁻¹(ξ) 定义为满足 ∇-平行移动保持切丛 TC 的子流形。
• 通过设置 ∇′X̃Ỹ = π*(∇XY) 在 N = C/Gξ 上构造约化联络 ∇′，其中 X, Y 为 C 上的 G-不变向量场，π: C → N 为商映射。
• 通过验证在特征分布 Tℐ = (TC)⊥ω ∩ TC 中的向量场加法下保持良好定义性，确保 ∇′ 的良好定义性，该分布因联络的无 torsion 性与辛性而被 ∇ 保持。
• 对于预辛流形，通过在横截分布 S 上构造 Bott 型联络并引入满足 ω(Θ(X′,Y′),Z′) = ½(DX′ω)(Y′,Z′) 的校正张量 Θ，构造联络 ∇，从而保证 ∇ω = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有哈密顿 G-作用的辛流形 (M, ω) 上，辛联络 ∇ 在什么条件下可约化为马斯德林-魏斯科特约化流形 N = C/Gξ 上的辛联络？
• RQ2 在给定辛联络 ∇ 下，水平集 C = J⁻¹(ξ) 何时为自平行？
• RQ3 在预辛流形 (M, ω) 上，关于其特征叶层 ℐ，什么条件可保证存在可投射的预辛联络？
• RQ4 特征叶层 ℐ 的艾蒂希类与法丛上可投射联络的存在性之间有何关系？
• RQ5 момента-отображения 的仿射性在确保水平集的自平行性及联络约化中起什么作用？

主要发现

• 在具有仿射哈密顿 G-作用且在正则值 ξ ∈ g* 处水平集 C = J⁻¹(ξ) 为自平行的辛流形 (M, ω) 上，辛联络 ∇ 唯一地诱导出约化流形 N = C/Gξ 上的辛联络 ∇′。
• 所诱导的联络 ∇′ 是良好定义的，因为特征叶层 ℐ = (TC)⊥ω ∩ TC 被 ∇ 保持，且群作用通过仿射条件保持 ∇。
• 若 момента-отображения J 为仿射（即 J* 沿 J 为常数的路径的 ∇-水平提升为常数），则对所有正则值 ξ，水平集 C = J⁻¹(ξ) 均为自平行。
• 每个预辛流形 (M, ω) 均存在与 ω 相容的预辛联络，该联络通过横截分布 S 和满足条件的校正张量 Θ 构造而成。
• 预辛联络关于特征叶层 ℐ 可投射，当且仅当法丛 νℐ 具有可投射联络，而此情况恰好发生在 ℐ 的艾蒂希类为零时。
• 在预辛流形上构造的联络 ∇ 的挠率为 I-值，且对所有 X′,Y′,Z′ ∈ ΓTS，有 ω(T∇(X′,Y′),Z′) = 0，从而保证与商流形上辛结构的相容性。