[论文解读] Connections up to homotopy and characteristic classes

Marius Crainic|ArXiv.org|Oct 9, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文提出了一种广义的Chern-Weil构造，用于在Z2-graded向量丛上使用同伦至上的联络来计算特征类，将经典Chern示性类理论推广至非平坦和非线性的情形。结果表明，李代数胚和泊松流形的内在特征类可作为同伦至上的伴随表示的Chern示性类而自然出现，从而解决了关于其起源的猜想，并给出了经典平坦情形之外的新不变量。

ABSTRACT

In this note we clarify the relevance of ``connections up to homotopy'' to the theory of characteristic classes. We have already remarked \cite{Crai} that such connections up to homotopy can be used to compute the classical Chern characters. Here we present a slightly different argument for this, and then proceed with the discussion of the flat (secondary) characteristic classes. As an application, we clarify the relation between the two different approaches to characteristic classes of algebroids (and of Poisson manifolds in particular): we explain that the intrinsic characteristic classes are precisely the secondary classes of the adjoint representation.

研究动机与目标

• 阐明同伦至上的联络在计算李代数胚和泊松流形特征类中的作用。
• 将经典Chern示性类构造推广至非平坦、Z2-graded向量丛上的非线性联络。
• 证明费尔南德斯的泊松流形内在特征类即为同伦至上的伴随表示的Chern示性类。
• 通过构造同伦至上的联络，解决关于内在特征类源于伴随表示的猜想。

提出的方法

• 引入Z2-graded超向量丛上的非线性联络，放松联络形式在C∞(M)-线性性上的要求。
• 使用标准公式与莱布尼茨法则，定义非线性联络的曲率与协变导数，将德拉姆复形推广至非线性形式。
• 通过曲率的幂的超迹构造非线性Chern示性类：ch_p(∇) = Tr_s(k_∇^p) ∈ A_nl^{2p}(M)。
• 通过标准单纯形上的联络仿射组合应用Chern-Simons构造，再沿纤维积分，得到特征类。
• 利用End(E)上的诱导联络与Bianchi恒等式d_∇(k_∇) = 0，确保Chern形式的闭性。
• 将该构造应用于李代数胚的伴随表示，证明其特征类与泊松流形的内在类一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏平坦性的情况下，能否为同伦至上的表示定义特征类？
• RQ2 同伦至上的联络如何推广经典Chern-Weil理论至向量丛？
• RQ3 泊松流形的内在特征类能否实现为伴随表示的Chern示性类？
• RQ4 非线性联络在非平坦情形下计算特征类中起何作用？
• RQ5 Chern-Simons构造能否推广至非线性形式与非线性联络？

主要发现

• 非线性Chern示性类ch_p(∇) = Tr_s(k_∇^p)是A_nl^{2p}(M)中的闭形式，将经典Chern示性类推广至非线性与非平坦情形。
• 通过Chern-Simons构造定义的特征类与同伦至上的联络选择无关。
• 此前猜想源于伴随表示的泊松流形内在特征类，现被证明为同伦至上的伴随表示的Chern示性类。
• 该构造为非平坦Z2-graded向量丛产生新的特征类，突破了经典平坦向量丛理论的限制。
• 对于正则李代数胚，其特征类满足u_{2p-1}^g = u_{2p-1}(K) - u_{2p-1}(ν)，其中K与ν为Bott表示。
• 李代数胚的伴随表示自然携带一个同伦至上的联络，使得其特征类可通过广义Chern-Weil方法定义。