[论文解读] Connective algebraic K-theory

Shouxin Dai, Marc Levine|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文在特征零的域上，将连通代数K-理论确立为双分次的定向对偶理论，将其同调理论识别为G-理论的连通变体。关键结果是该理论与代数cobordism张量ℤ[β]之间的同构，从而在lci映射下为纯维数的概形提供了自然且函子性的基本类。

ABSTRACT

We examine the theory of connective algebraic K-theory, CK, defined by taking the -1 connective cover of algebraic K-theory with respect to Voevodsky's slice tower in the motivic stable homotopy category. We extend CK to a bi-graded oriented duality theory (CK', CK) in case the base scheme is the spectrum of a field k of characteristic zero. The homology theory CK' may be viewed as connective algebraic G-theory. We identify CK' theory in bi-degree (2n, n) on some finite type k-scheme X with the image of K_0(M(X,n)) in K_0(M(X, n+1)), where M(X,n) is the abelian category of coherent sheaves on X with support in dimension at most n; this agrees with the (2n,n) part of the theory defined by Cai. We also show that the classifying map from algebraic cobordism identifies CK' with the universal oriented Borel-Morel homology theory Ω_*^{CK}:=Ω_*\otimes_L\Z[β] having formal group law u+v-βuv with coefficient ring \Z[β]. As an application, we show that every pure dimension d finite type k scheme has a well-defined fundamental class [X] in Ω_d^{CK}(X), and this fundamental class is functorial with respect to pull-back for lci morphisms. Finally, the fundamental class maps to the fundamental class in G-theory after inverting β, and to the fundamental class in CH after moding out by β.

研究动机与目标

• 将连通代数K-理论定义并研究为Voevodsky切片塔中代数K-理论谱的0阶切片。
• 将该理论扩展为特征零域上的双分次定向对偶理论。
• 将所得同调理论与Cai的连通K-理论及代数cobordism进行比较。
• 为纯维数概形在连通cobordism理论Ω*CK中构造一个自然的基本类。
• 证明该基本类在自然变换下正确映射到Chow同调与K-理论。

提出的方法

• 在motivic稳定同伦范畴中，将连通代数K-理论定义为代数K-理论谱的0阶切片。
• 通过切片过滤，将相关的同调理论CK′_{*,*}构造为G-理论的连通类比。
• 将CK′_{2n,n}(X)识别为K₀(M_{(n)}(X))在K₀(M_{(n+1)}(X))中的像，其中X为有限型k-概形。
• 通过代数cobordism的分类映射，建立CK′_{2*,*}与Ω* ⊗_ℚ ℤ[β]之间的同构。
• 利用代数cobordism的普遍性质，通过拉回和与lci态射的相容性来定义基本类。
• 利用G₀-理论的结构及与连通cobordism的同构，验证基本类在lci拉回下的函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Voevodsky切片塔中代数K-理论的0阶切片如何与现有的连通K-理论构造相关联？
• RQ2 能否从特征零域上的连通K-理论构造出双分次定向对偶理论？
• RQ3 连通K-理论同调理论与代数cobordism张量ℤ[β]之间是否存在自然同构？
• RQ4 连通cobordism理论中的基本类在lci态射下是否具有函子性？
• RQ5 CK′_{2*,*}中的基本类在自然映射下如何与Chow同调和K-理论中的基本类相关联？

主要发现

• 同调理论CK′_{*,*}作为双分次定向同调理论，与Ω* ⊗_ℚ ℤ[β]同构，该同构由代数cobordism的分类映射诱导。
• 对任意有限型k-概形X（纯维数为d），存在一个在lci态射下函子性的自然基本类[X]_CK ∈ Ω_d^CK(X)。
• 基本类[X]_CK在映射Ω*^CK → G₀[β,β⁻¹]下映射为G-理论基本类β^d[𝒪_X]。
• 基本类[X]_CK在商映射Ω*^CK → CH_*下映射为Chow同调类[X]_CH。
• 同构Ω*^CK ≅ CK′_{2*,*}与lci态射的拉回相容，确保了基本类的函子性。
• 该构造解决了Cai的连通K-理论与motivic切片理论版本之间的差异，表明在K₀部分上二者一致。