[论文解读] Connective constants and height functions for Cayley graphs

Geoffrey Grimmett, Zhongyang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文通过引入群高度函数——具有周期性差分的幺模、调和、线性增长函数——建立了有限生成群的Cayley图连通常数的局部性。证明了此类函数存在的充要条件是群具有某种代数性质（与亏格相关），并利用它们证明了在Cayley图的局部同构下连通常数的连续性，将局部性定理推广至包括可解群和自由群在内的广泛群类。

ABSTRACT

The connective constant $μ$($G$) of an infinite transitive graph $G$ is the exponential growth rate of the number of self-avoiding walks from a given origin. In earlier work of Grimmett and Li, a locality theorem was proved for connective constants, namely, that the connective constants of two graphs are close in value whenever the graphs agree on a large ball around the origin. A condition of the theorem was that the graphs support so-called “unimodular graph height functions”. When the graphs are Cayley graphs of infinite, finitely generated groups, there is a special type of unimodular graph height function termed here a “$ extit{group}$ height function”. A necessary and sufficient condition for the existence of a group height function is presented, and may be applied in the context of the bridge constant, and of the locality of connective constants for Cayley graphs. Locality may thereby be established for a variety of infinite groups including those with strictly positive deficiency. It is proved that a large class of Cayley graphs support unimodular graph height functions, that are in addition $ extit{harmonic}$ on the graph. This implies, for example, the existence of unimodular graph height functions for the Cayley graphs of finitely generated solvable groups. It turns out that graphs with non-unimodular automorphism subgroups also possess graph height functions, but the resulting graph height functions need not be harmonic. Group height functions, as well as the graph height functions of the previous paragraph, are non-constant harmonic functions with linear growth and an additional property of having periodic differences. The existence of such functions on Cayley graphs is a topic of interest beyond their applications in the theory of self-avoiding walks.

研究动机与目标

• 建立无限、有限生成群的Cayley图连通常数的局部性。
• 确定群高度函数存在的必要与充分条件——一种特殊的幺模图高度函数，具有调和性与线性增长性质。
• 通过证明在关键群类中此类高度函数的存在性，将连通常数的局部性定理推广至Cayley图。
• 独立于Liouville性质，研究Cayley图上具有周期性差分的非平凡调和函数的结构与存在性。
• 通过商图与模函数构造图高度函数，处理非幺模自同构群的情形。

提出的方法

• 将群高度函数定义为具有H-差分不变性与线性增长的幺模图高度函数，并从群的代数结构中导出。
• 证明群存在群高度函数当且仅当其存在到Z的同态，其核包含交换子群且满足亏格条件（定理4.1）。
• 通过迭代构造方法，从基函数ψ出发构建一个调和且H-差分不变的函数，确保其在所有轨道点上递增。
• 对于非幺模群，构造商图G′ = G/S，其中S为由稳定化子生成的正规子群，并将高度函数从G′提升至G。
• 应用模函数M(v) = |Stab_vw| / |Stab_wv| 定义轨道上的非平凡权函数M，用于在商图上构造高度函数。
• 证明提升函数ψ(v) = ψ′(Sv)是图G上的高度函数，并表明在非幺模情形下其未必调和。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限生成群的何种代数条件下，其Cayley图会允许存在群高度函数？
• RQ2 能否通过调和、幺模图高度函数将连通常数的局部性定理推广至Cayley图？
• RQ3 具有周期性差分的调和函数的存在性与底层群的结构之间存在何种关系？
• RQ4 如何为非幺模自同构群构造图高度函数？它们是否保持调和性？
• RQ5 模函数在非幺模Cayley图上构造高度函数的过程中起何种作用？

主要发现

• Cayley图上群高度函数存在的充要条件是：群存在到Z的同态，其核包含交换子群且亏格至少为1（定理4.1）。
• 连通常数具有局部稳定性：若两个Cayley图在单位元附近的较大球上一致，则其连通常数彼此接近，前提是它们支持幺模图高度函数。
• 所有无限、有限生成的自由可解群与自由幂零群均存在群高度函数，因此满足局部性条件。
• 一大类Cayley图——包括拟可解群的Cayley图——支持调和且具有线性增长的幺模图高度函数。
• 对于非幺模自同构群，可通过商图构造图高度函数，但其未必调和，如祖父母图示例所示。
• 该构造在商图G′上产生一个调和且幺模的图高度函数，其可提升至原图G上的图高度函数，即使调和性不成立。