[论文解读] Connective eccentric index of some graph operations

Nilanjan De, Anita Pal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Graph theory and applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文推导了多种图运算（包括连接、对称差、析取、拼接和双图运算）的连通偏心指数（CEI）的显式公式。研究证明，这些复合图的CEI可通过原图的顶点度数和偏心率计算得出，且通过结构分析与偏心率传播规则，得到了闭式表达式。

ABSTRACT

The connective eccentric index of a graph is a topological index involving degrees and eccentricities of vertices of the graph. In this paper, we have studied the connective eccentric index for double graph and double cover. Also we give the connective eccentric index for some graph operations such as joins, symmetric difference, disjunction and splice of graphs.

研究动机与目标

• 将连通偏心指数（CEI）的应用扩展至基本图运算，如连接、对称差、析取、拼接和双图运算。
• 确定在图复合过程中CEI的变换规律，特别是当结合具有不同结构特性的图时。
• 提供以原图的CEI及结构不变量（度数、偏心率）表示的CEI显式解析表达式。
• 分析高度连通顶点（偏心率1）对复合图CEI的影响，特别是在双图和对称差中。
• 将先前针对特定图族（如完全图、环图、超立方体）的CEI结果推广至更广泛的复合图类别。

提出的方法

• 将连通偏心指数定义为 $ C^\theta(G) = \frac{d_G(v)}{\rho_G(v)} $，并对所有顶点求和，其中 $ d_G(v) $ 为顶点 $ v $ 的度数，$ \rho_G(v) $ 为顶点 $ v $ 的偏心率。
• 分析双图 $ G^* $，表明原图 $ G $ 中的每个顶点 $ v_i $ 在 $ G^* $ 中产生两个顶点 $ x_i, y_i $，其度数为 $ 2d_G(v_i) $，偏心率则为 $ \rho_G(v_i) $ 或 $ \rho_G(v_i)+1 $，具体取决于 $ v_i $ 是否为高度连通顶点。
• 推导出公式 $ C^\theta(G^*) = 4C^\theta(G) - 2(n-1)\norm{n-1}_G $，其中 $ \norm{n-1}_G $ 表示图 $ G $ 中度数为 $ n-1 $ 的顶点数量（即偏心率1的顶点）。
• 对于连接 $ G_1 + G_2 $，利用 $ G_1 $ 中所有顶点与 $ G_2 $ 中所有顶点相邻的性质，得到修改后的度数和偏心率，并推导出 $ C^\theta(G_1 + G_2) = |V(G_2)| \theta(G_1) + |V(G_1)| \theta(G_2) $。
• 对于对称差 $ G_1 \bigoplus G_2 $，利用所有顶点偏心率均为2的性质（当任一图中无高度连通顶点时），推导出 $ C^\theta(G_1 \bigoplus G_2) = \frac{1}{2} \big[ |V(G_2)|^2 \theta(G_1) + |V(G_1)|^2 \theta(G_2) - 2|E(G_1)||E(G_2)| \big] $。
• 对于析取 $ G_1 \bigvee G_2 $，应用度数公式 $ d_{G_1 \bigvee G_2}(u_1,u_2) = |V(G_2)|d_{G_1}(u_1) + |V(G_1)|d_{G_2}(u_2) - d_{G_1}(u_1)d_{G_2}(u_2) $，并利用恒定偏心率2的性质，推导出 $ C^\theta(G_1 \bigvee G_2) = |E(G_1)||V(G_2)|^2 + |E(G_2)||V(G_1)|^2 - 2|E(G_1)||E(G_2)| $。
• 对于拼接 $ S(G_1, G_2, v_1, v_2) $，使用偏心率公式 $ \rho(x) = \text{max}\big\{ \rho_{G_1}(x), \rho_{G_2}(v_2) + 1 \big\} $（当 $ x \in G_1 \setminus v_1 $），并基于最大值的偏心率表达式，对 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 的顶点分别求和，得到CEI的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 双图运算下，连通偏心指数如何变化？能否基于原图的CEI和顶点度分布推导出闭式表达式？
• RQ2 两个图的连接、对称差、析取和拼接的连通偏心指数是多少？顶点度数和偏心率等结构特性如何影响结果？
• RQ3 高度连通顶点（偏心率1）如何影响复合图（如双图和对称差）的CEI？
• RQ4 在何种条件下，复合图中所有顶点的偏心率变为常数（例如2）？这如何简化CEI的计算？
• RQ5 复杂图运算的CEI能否仅用原图的不变量（如边数、顶点数和总偏心率）表示？

主要发现

• 双图 $ G^* $ 的连通偏心指数为 $ C^\theta(G^*) = 4C^\theta(G) - 2(n-1)\norm{n-1}_G $，其中 $ \norm{n-1}_G $ 为图 $ G $ 中度数为 $ n-1 $ 的顶点数量。
• 对于连接 $ G_1 + G_2 $，CEI为 $ C^\theta(G_1 + G_2) = |V(G_2)| \theta(G_1) + |V(G_1)| \theta(G_2) $，其中 $ \theta(G) $ 为图 $ G $ 中所有顶点偏心率之和。
• 对于对称差 $ G_1 \bigoplus G_2 $，若两图均无高度连通顶点，则CEI为 $ C^\theta(G_1 \bigoplus G_2) = \frac{1}{2} \big[ |V(G_2)|^2 \theta(G_1) + |V(G_1)|^2 \theta(G_2) - 2|E(G_1)||E(G_2)| \big] $。
• 对于析取 $ G_1 \bigvee G_2 $，在相同条件下（无高度连通顶点），有 $ C^\theta(G_1 \bigvee G_2) = |E(G_1)||V(G_2)|^2 + |E(G_2)||V(G_1)|^2 - 2|E(G_1)||E(G_2)| $。
• 对于拼接 $ S(G_1, G_2, v_1, v_2) $，CEI为 $ C^\theta(S) = \textstyle\bigsum_{x \notin v_1} \frac{d_S(x)}{\text{max}\big\{ \rho_{G_1}(x), \rho_{G_2}(v_2) + 1 \big\}} + \textstyle\bigsum_{y \notin v_2} \frac{d_S(y)}{\text{max}\big\{ \rho_{G_2}(y), \rho_{G_1}(v_1) + 1 \big\}} $，其中偏心率通过距离和分量偏心率定义。
• 标准图（如 $ K_n $、$ C_n $、$ Q_m $、$ \text{Prism}_m $ 和 $ \text{Antiprism}_m $）的CEI被显式计算，并用作推导中的基础情形。