[论文解读] Connectives in Quantum and other Cumulative Logics

Daniel Lehmann|ArXiv.org|May 31, 2002

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文研究了量子逻辑与累积非单调逻辑中的联结词——尤其是合取、否定与析取，表明虽然合取可通过闭子空间的交集良好定义，但通过正交补的标准量子否定无法满足否定的证明论标准。主要贡献在于对 C-逻辑与 L-逻辑中联结词的形式刻画，揭示出量子逻辑支持恰当的合取与非标准否定，但因分配律失效而不支持恰当的析取。

ABSTRACT

Cumulative logics are studied in an abstract setting, i.e., without connectives, very much in the spirit of Makinson's early work. A powerful representation theorem characterizes those logics by choice functions that satisfy a weakening of Sen's property alpha, in the spirit of the author's "Nonmonotonic Logics and Semantics" (JLC). The representation results obtained are surprisingly smooth: in the completeness part the choice function may be defined on any set of worlds, not only definable sets and no definability-preservation property is required in the soundness part. For abstract cumulative logics, proper conjunction and negation may be defined. Contrary to the situation studied in "Nonmonotonic Logics and Semantics" no proper disjunction seems to be definable in general. The cumulative relations of KLM that satisfy some weakening of the consistency preservation property all define cumulative logics with a proper negation. Quantum Logics, as defined by Engesser and Gabbay are such cumulative logics but the negation defined by orthogonal complement does not provide a proper negation.

研究动机与目标

• 对量子与累积非单调逻辑中的逻辑联结词——合取、否定与析取进行形式刻画。
• 研究通过正交补定义的标准量子否定是否满足否定的证明论标准。
• 在分配律失效的背景下，确定析取是否能在量子逻辑中被恰当定义。
• 将 [7] 中关于 C-逻辑与 L-逻辑的表示结果扩展至非保可定义性的模型，超越其原始范围。
• 澄清经典联结词在量子逻辑中的形式地位，尤其在玻尔与冯·诺伊曼对可观测量的期望背景下。

提出的方法

• 采用基于选择函数与模型集合上推理关系的模型论框架，推广 [7] 的方法，以包含不可定义集合。
• 应用累积性与 2-环性质来刻画 C-逻辑与 L-逻辑，表明其可在不依赖可定义性保持的前提下实现一致表示。
• 通过希尔伯特空间中闭子空间的交集定义合取，确保 ∧-R 规则的有效性。
• 利用正交补分析否定，证明 ¬-R2 规则（反证法）不成立，从而否定其作为恰当否定的资格。
• 通过分配律的视角研究析取，表明仅当量子逻辑满足分配律时，才能支持满足 ∨-R1 与 ∨-R2 的析取。
• 在希尔伯特空间（如 R² 中）使用几何例子，演示 ¬-R2 的失效以及不存在标准析取。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在量子逻辑中定义一种满足标准证明论规则 ¬-R1 与 ¬-R2 的恰当否定？
• RQ2 量子逻辑是否支持一个行为良好的析取，使其满足 ∨-R1 与 ∨-R2，还是由于结构约束而不可能？
• RQ3 除了 C-逻辑与 L-逻辑的性质外，量子逻辑是否还满足其他额外性质，抑或仅继承了这些更广泛类别的性质？
• RQ4 通过正交补定义的标准量子否定在逻辑上是否充分，还是其违反了基本的证明论原则？
• RQ5 鉴于正交补作为否定在逻辑上不充分，量子力学中一个可观测量的否定是否仍可视为可观测量？

主要发现

• 量子逻辑中的合取可通过闭子空间的交集良好定义，且无限合取有效，满足 ∧-R 规则。
• 通过正交补定义的标准量子否定不满足 ¬-R2 规则（反证法），表明其在逻辑意义上并非恰当的否定。
• 在一般量子逻辑中不存在恰当的析取，因为分配律不成立；仅当量子逻辑满足分配律时，才能支持满足 ∨-R1 与 ∨-R2 的析取。
• 量子逻辑既是 C-逻辑也是 L-逻辑，但不满足 [7] 中所需的连贯性性质，因此需要更广泛的表示框架。
• 本文指出，量子逻辑中 ¬-R2 的失效与伯克霍夫与冯·诺伊曼的观察一致：分配律是量子逻辑中最薄弱的一环，而非否定。
• 结果表明，量子逻辑中的否定可能并不对应于物理可观测量，从而引发关于量子力学中逻辑否定本质的基础性疑问。