[论文解读] Connectivity Lower Bounds in Broadcast Congested Clique

Shreyas Pai, Sriram V. Pemmaraju|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 1

一句话总结

该论文在1比特广播集中式网络模型（BCC(1)）中首次建立了图连通性的非平凡下界，证明了在KT-1和KT-0模型下，确定性算法与常误差随机算法的轮数复杂度均为Ω(log n)。研究通过新颖的组合论证、对两方通信问题的归约以及信息论技术，表明即使区分单环图与多环图也需要Ω(log n)轮，揭示了该模型中固有的通信障碍。

ABSTRACT

We prove three new lower bounds for graph connectivity in the $1$-bit broadcast congested clique model, BCC$(1)$. First, in the KT-$0$ version of BCC$(1)$, in which nodes are aware of neighbors only through port numbers, we show an $Ω(\log n)$ round lower bound for CONNECTIVITY even for constant-error randomized Monte Carlo algorithms. The deterministic version of this result can be obtained via the well-known "edge-crossing" argument, but, the randomized version of this result requires establishing new combinatorial results regarding the indistinguishability graph induced by inputs. In our second result, we show that the $Ω(\log n)$ lower bound result extends to the KT-$1$ version of the BCC$(1)$ model, in which nodes are aware of IDs of all neighbors, though our proof works only for deterministic algorithms. Since nodes know IDs of their neighbors in the KT-$1$ model, it is no longer possible to play "edge-crossing" tricks; instead we present a reduction from the 2-party communication complexity problem PARTITION in which Alice and Bob are give two set partitions on $[n]$ and are required to determine if the join of these two set partitions equals the trivial one-part set partition. While our KT-$1$ CONNECTIVITY lower bound holds only for deterministic algorithms, in our third result we extend this $Ω(\log n)$ KT-1 lower bound to constant-error Monte Carlo algorithms for the closely related CONNECTED COMPONENTS problem. We use information-theoretic techniques to obtain this result. All our results hold for the seemingly easy special case of CONNECTIVITY in which an algorithm has to distinguish an instance with one cycle from an instance with multiple cycles. Our results showcase three rather different lower bound techniques and lay the groundwork for further improvements in lower bounds for CONNECTIVITY in the BCC$(1)$ model.

研究动机与目标

• 填补BCC(1)模型中图连通性问题的已知上界与下界之间的差距。
• 确立即使在连通性问题的简单变体中，1比特广播集中式网络模型下仍需超常数轮通信。
• 开发适用于输出复杂度较低问题（如连通性与连通分量）的新下界技术。
• 将下界结果扩展至KT-1模型中的随机算法，其中节点知晓邻居ID。
• 探索是否可通过通信复杂度归约与信息论分析获得更强的下界。

提出的方法

• 基于输入分布的组合性质，提出一种新颖的不可区分图论证，证明KT-0模型中连通性的Ω(log n)下界。
• 将KT-1模型中的连通性问题归约为两方通信问题Partition，表明解决连通性问题意味着以高通信代价解决Partition问题。
• 应用Yao的最小最大原理，将随机协议简化为有界误差的确定性协议，从而简化分析。
• 运用信息论技术，通过有界输入与传输结果之间的互信息进行上界估计，表明高熵输入需要大量通信。
• 引入PartitionComp问题，即要求大输出表示的Partition变体，用于建模连通分量的计算。
• 结合归约方法与熵及互信息不等式，推导出Ω(n log n)的通信复杂度，进而得出Ω(log n)轮复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在BCC(1)模型中证明连通性的轮数下界超过ω(log n)，还是O(log n)即为真实复杂度？
• RQ2 是否可将Ω(log n)的下界扩展至BCC(1)模型中KT-1模型下的常误差随机算法？
• RQ3 Partition与TwoPartition问题的随机通信复杂度是否可被下界为Ω(n log n)？
• RQ4 当输出表示较大时，信息论技术是否能为连通性问题提供更强的下界？
• RQ5 能否通过两方通信问题的归约，在BCC(1)模型中建立紧致的下界？

主要发现

• 在BCC(1)模型的KT-0模型中，连通性问题的Ω(log n)轮下界已被确立，即使对常误差随机蒙特卡洛算法也成立。
• 通过归约为两方通信问题Partition，KT-1模型中确定性算法的Ω(log n)下界同样成立。
• 对于KT-1模型中的ConnectedComponents问题，利用信息论技术证明了常误差蒙特卡洛算法的Ω(log n)下界。
• 即使在区分单环图与多环图的特例下，该下界依然成立，表明连通性检测本身具有内在复杂性。
• 研究结果展示了三种不同的下界技术：组合不可区分性、通信复杂度归约与信息论分析。
• 论文表明，目前下界并未排除BCC(log n)模型中连通性问题的最优已知上界O(log n / log log n)轮算法的存在，因此O(log n)轮算法的可能性依然开放。