[论文解读] Connectivity of orientations of 3-edge-connected graphs

Florian Hörsch, Zoltán Szigeti|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入了弗兰克数 f(G)，即对于3-边连通图 G，使每条边在至少一个定向中成为可删除边（即其删除不破坏强连通性）所需的最小定向数。证明了对所有3-边连通图均有 f(G) ≤ 7，确定了彼得森图的 f(G) = 3，并证明了在单一定向中使所有边均可删除的判定问题是 NP-完全的。该研究与伯杰-富尔克森猜想相关，并提出了一个猜想：对所有3-边连通图均有 f(G) ≤ 3。

ABSTRACT

We attempt to generalize a theorem of Nash-Williams stating that a graph has a $k$-arc-connected orientation if and only if it is $2k$-edge-connected. In a strongly connected digraph we call an arc {\it deletable} if its deletion leaves a strongly connected digraph. Given a $3$-edge-connected graph $G$, we define its Frank number $f(G)$ to be the minimum number $k$ such that there exist $k$ orientations of $G$ with the property that every edge becomes a deletable arc in at least one of these orientations. We are interested in finding a good upper bound for the Frank number. We prove that $f(G)\leq 7$ for every $3$-edge-connected graph. On the other hand, we show that a Frank number of $3$ is attained by the Petersen graph. Further, we prove better upper bounds for more restricted classes of graphs and establish a connection to the Berge-Fulkerson conjecture. We also show that deciding whether all edges of a given subset can become deletable in one orientation is NP-complete.

研究动机与目标

• 通过放宽对单一定向的要求，将纳什-威廉姆斯关于 k-弧连通定向的定理推广至多定向情形。
• 定义并分析弗兰克数 f(G)，即使得每条边在至少一个定向中成为可删除弧的最小定向数。
• 为3-边连通图建立 f(G) 的上界，并识别如彼得森图等极值情况。
• 探索弗兰克数与图论中深层猜想（如伯杰-富尔克森猜想）之间的联系。
• 研究确定某一组边是否能在单一定向中全部成为可删除边的计算复杂性。

提出的方法

• 将弗兰克数 f(G) 定义为3-边连通图 G 的最小定向数，使得每条边在至少一个定向中成为可删除弧。
• 通过从 NAE3SAT 问题的归约，证明判定某一给定边子集是否能在单一定向中全部成为可删除边的问题是 NP-完全的。
• 通过构建基于3SAT中真值赋值的变量与子句部件的显式定向，为立方图构造定向，以确保边删除后仍保持强连通性。
• 利用结构分解与边割分析，证明对所有3-边连通图均有 f(G) ≤ 7。
• 为特殊类别（如本质4-边连通图和3-边可染色的3-边连通图）建立更紧的上界。
• 利用 DeVos、Johnson 和 Seymour 关于3-边连通图的9-划分结果，推导出一般性上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 使3-边连通图中每条边在至少一个定向中成为可删除边，所需的最小定向数是多少？
• RQ2 是否对所有3-边连通图，弗兰克数可被一个较小的绝对常数所界定？若是，该最优界是多少？
• RQ3 彼得森图是否在3-边连通图中达到最小可能的弗兰克数？该图的 f(G) 是否等于3？
• RQ4 判定某一给定边子集是否能在单一定向中全部成为可删除边的问题，其计算复杂性是多项式可解还是 NP-完全？
• RQ5 弗兰克数概念能否推广至 (2k+1)-边连通图？且所需定向数是否与 k 无关而有界？

主要发现

• 对任意3-边连通图 G，弗兰克数 f(G) 不超过 7。
• 彼得森图的弗兰克数恰好为 3，使其成为最小极值情况。
• 对本质4-边连通图，弗兰克数不超过 5。
• 对3-边可染色的3-边连通图，弗兰克数不超过 4。
• 判定某一给定边子集是否能在单一定向中全部成为可删除边的问题是 NP-完全的。
• 若存在弗兰克数大于 5 的图，将与伯杰-富尔克森猜想矛盾。