[论文解读] Connes-amenability and normal, virtual diagonals for measure algebras, II

Volker Runde|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文建立了局部紧群 $G$ 的测度代数 $M(G)$ 的三个性质之间的等价性：$G$ 的可约性、$M(G)$ 的康内斯可约性，以及 $M(G)$ 中存在一个正规虚拟对角线。通过构造一列满足一致逼近条件的 $L^1(G)$ 中的正函数的网，作者在紧致无穷连续函数空间的对偶空间中构造出一个极限点，该点作为正规虚拟对角线，从而利用超极限和弱*连续性论证证明了等价性。

ABSTRACT

We prove that the following are equivalent for a locally compact group $G$: (i) $G$ is amenable; (ii) $M(G)$ is Connes-amenable; (iii) $M(G)$ has a normal, virtual diagonal.

研究动机与目标

• 解决关于一般对偶巴拿赫代数中康内斯可约性与正规虚拟对角线存在性是否等价的开放问题，重点研究测度代数 $M(G)$。
• 通过证明当且仅当 $G$ 可约时，$M(G)$ 的康内斯可约性与正规虚拟对角线存在性等价，扩展了先前部分结果。
• 利用满足与可约性相关的统一逼近条件的 $L^1$-函数网，为 $M(G)$ 构造一个正规虚拟对角线。
• 通过弱*拓扑与对偶性技术，完全刻画 $M(G)$ 的结构性质，以群的可约性为基准。

提出的方法

• 使用满足可约性条件 $\|\delta_x * f_\alpha - f_\alpha\| \to 0$ 的正 $L^1$-函数 $(f_\alpha)$，在 $M(G \times G)$ 中构造一列 $(m_\alpha)$。
• 通过网 $(m_\alpha)$ 的超极限，在 $\operatorname{\cal SC}_0(G \times G)$ 的对偶空间中定义极限元素 $\rm M$，确保弱*连续性。
• 通过验证 $\rm M$ 在乘法映射上的取值等于单位元处的狄拉克测度，证明 $\Delta \rm M = \delta_e$。
• 通过富比尼定理与范数估计，证明 $\rm M$ 的双模不变性，即对所有 $\mu \in M(G)$，有 $\|\mu \cdot \rm M - \rm M \cdot \mu\| \to 0$。
• 利用 $|\mu|$ 的内正则性与一致收敛条件 $\| (\delta_y \otimes \delta_e) * m_\alpha - m_\alpha * (\delta_e \otimes \delta_y) \| \to 0$，得出双模不变性。
• 利用 $\mathcal{L}^{2}_{w^*}(M(G), \mathbb{C})^*$ 与 $\operatorname{\cal SC}_0(G \times G)$ 的识别，将构造嵌入正确的对偶空间中。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有局部紧群 $G$，$M(G)$ 的康内斯可约性是否与正规虚拟对角线的存在性等价？
• RQ2 当 $G$ 可约时，能否显式构造 $M(G)$ 的正规虚拟对角线？
• RQ3 若存在一列满足在紧集上一致逼近条件 $\|\delta_x * f_\alpha - f_\alpha\| \to 0$ 的 $L^1$-函数，是否可推出正规虚拟对角线的存在？
• RQ4 反之，若 $M(G)$ 中存在正规虚拟对角线，是否可推出 $G$ 的可约性？
• RQ5 弱*连续性与对偶性在刻画测度代数的导子与双模结构中起何作用？

主要发现

• 在 $M(G)$ 中存在正规虚拟对角线，当且仅当 $G$ 可约。
• 对 $M(G)$ 的康内斯可约性与 $G$ 的可约性等价，扩展了对离散群与紧群的先前结果。
• 作为满足可约性条件的 $L^1$-网导出的测度 $m_\alpha$ 的超极限，构造出 $M(G)$ 的正规虚拟对角线。
• 该构造确保 $\Delta \rm M = \delta_e$，验证了虚拟对角线的必要性质。
• 由于在紧集上的一致收敛性，极限中双模不变性 $\mu \cdot \rm M = \rm M \cdot \mu$ 成立，因范数差趋于零。
• 证明表明，$M(G)$ 是康内斯可约的，当且仅当 $G$ 是可约的，从而完成了测度代数中等价链的构建。