[论文解读] Conormal problem of higher-order parabolic systems

Hongjie Dong, Hong Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用 4

一句话总结

该论文在半空间和 $C^{m-1,1}$ 域中，为具有共轭法向导数边界条件的高阶散度型抛物系统建立了 $L_p$ 和 Schauder 估计。在系数在时间上有界可测、在空间上为 VMO 的弱正则性假设下，通过基于均值振荡估计和精确函数理论的扰动方法，证明了 $L_p$ 估计。对于在空间上 Hölder 连续且在时空上联合 Hölder 连续的系数，获得了 Schauder 估计，将正则性理论推广至具有不连续系数的系统。

ABSTRACT

The paper is a comprehensive study of the $L_p$ and the Schauder estimates for higher-order divergence type parabolic systems with discontinuous coefficients in the half space and cylindrical domains with conormal derivative boundary condition. For the $L_p$ estimates, we assume that the leading coefficients are only bounded measurable in the $t$ variable and $VMO$ with respect to $x$. We also prove the Schauder estimates in two situations: the coefficients are Hölder continuous only in the $x$ variable; the coefficients are Hölder continuous in both variables.

研究动机与目标

• 将 $L_p$ 估计推广至具有不连续系数的高阶抛物系统，特别是仅在时间上有界可测、在空间上为 VMO 的系数。
• 为在空间上 Hölder 连续且在时空上联合 Hölder 连续的系数的系统建立 Schauder 估计。
• 在半空间和 $C^{m-1,1}$ 域中，为共轭法向导数边界条件建立一个框架。
• 通过新颖的扰动与均值振荡方法，将先前关于二阶系统的结论推广至高阶系统。
• 提供支持通过连续性方法实现解的存在性与正则性的先验估计。

提出的方法

• 采用两步法：首先针对仅依赖于时间 $t$ 的系数系统推导均值振荡估计，然后应用扰动技术。
• 将系统沿法向方向 $x_d$ 求导 $m$ 次，将共轭法向条件转化为 $D_d^m u$ 上的 Dirichlet 条件。
• 对 $D_d^m u$ 应用已知的非散度型系统在 Dirichlet 边界条件下的 $L_p$ 和 Hölder 估计。
• 利用 Fefferman–Stein 精确极大函数定理和 Hardy–Littlewood 极大函数定理控制振荡并推导 $L_p$ 估计。
• 使用单位分解和边界平坦化技术，将估计局部化于 $C^{m-1,1}$ 域。
• 应用连续性方法证明解的存在性，依赖于 Hölder 空间中的先验估计和插值不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在空间上仅为 VMO、在时间上有界可测的系数的高阶抛物系统建立 $L_p$ 估计？
• RQ2 如何将 Schauder 估计推广至在空间上 Hölder 连续且在时空上联合 Hölder 连续的系数的高阶系统？
• RQ3 共轭法向导数边界条件在将问题约化为 Dirichlet 型估计中起到什么作用？
• RQ4 奇偶延拓方法能否推广至高阶系统，还是需要采用替代方法？
• RQ5 在 $L_p$ 和 Hölder 空间中的先验估计如何通过连续性方法支持解的存在性？

主要发现

• 对于系数 $A^{etaeta}$ 属于 $VMO_x$ 且在 $t$ 上有界可测的系统，解 $u$ 满足 $L_p$ 估计：$\sum_{k=0}^{m}\lambda^{1-k/2m}\|D^k u\|_{L_p} \leq N \sum_{|\alpha|\leq m} \lambda^{|\alpha|/2m} \|f_\alpha\|_{L_p}$，其中 $\lambda$ 足够大。
• $D_d^m u$ 的 $L_p$ 估计通过均值振荡估计和 Fefferman–Stein 定理导出，利用了一个具有 $t$-依赖系数的特殊系统。
• Schauder 估计在两种情形下建立：系数仅在 $x$ 上 Hölder 连续，以及在 $(t,x)$ 上联合 Hölder 连续。
• 通过插值和能量估计，获得 Hölder 范数估计 $\|u\|_{\frac{a+m}{2m},a+m} \leq N(\|u\|_{L_2} + G)$。
• 通过连续性方法证明了 Hölder 空间中解的存在性，依赖于先验估计和解映射的连续性。
• 当 $\kappa$ 足够大时，先验估计 $\|u\|_{\frac{a+m}{2m},a+m} \leq NG$ 成立，其中 $N$ 依赖于区域、强椭圆性及系数范数。